Binominalverteilung - Wer liegt richtig?

03.08.2005, 17:07

Nadine1987

Binominalverteilung - Wer liegt richtig?

Hallo ich bin heute über eine Aufgabe gestolpert, bei der ich den Lösungsweg nicht nachvollziehen kann und bei der sich das ergebnis nicht mit meinem deckt.

Unter den Abiturienten findet man 70 % Nichtraucher. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse von 25 Schülern mindestens 15 Nichtraucher sind.

Die Lösung laut Lösungsheft ist:
$\begin{eqnarray*} P (X \geq 15) = 1 - P (X \leq 15) \end{eqnarray*}$ = 0,908363987

Das deckt sich aber nicht mit meinem Ergebnis. Ich habe mit Hilfe von Excel ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} P (X \geq 15) \end{eqnarray*}$ = 0,902199988

Ich denke, dass mein Ergebnis richtig ist, denn die haben mit dem Gegenereignis gerechnet und das ist meiner Auffassung nach höchstens 14 und nicht höchstens 15. Zudem haben die einfach nur
$\begin{eqnarray*} 1 - P(X = 15) \end{eqnarray*}$ gerechnet, was meiner Auffassung nach unzureichend ist.

Also frag ich euch: Wer hat richtig gerechnet ich oder das Lösungsheft? verwirrt

Das ist übrigens eine Prüfungsaufgabe aus LK Mathe in Thüringen gewesen 2002 oder 2004.

03.08.2005, 17:35

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

da abiturienten (einer schule) vermutlich nur um die 100 vorliegen und 25 von 100 ein großer anteil ist, würde ich hier eigentlich gar nicht mit binomialverteilung, sondern mit hypergeometrischer verteilung anfangen....

nun gut umformulierung: ein abiturient ist zu 70% wahrscheinlichkeit nichtraucher

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P (X \geq 15) = 1 - P (X \leq 15) \end{eqnarray*}$

kann natürlich nicht stimmen, da X=15 in beiden vorkommt
da werden sie sich vertan haben, ich habe aber nichts nachgerechnet

mfg jochen

ps: allgemein angewöhnen, dinge zu erklären
X als ZV wird nur im zusammenhang verstanden, du musst sagen, was das ist!

03.08.2005, 17:50

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED
Sorry, aber was hat das mit hypergeometrischer Verteilung zu tun? Die Anzahl der Abiturienten ist doch relativ egal, es zählt doch nur die Wahrscheinlich 70% oder!?
@Nadine1987
Sowohl $\begin{eqnarray*} 1-P(X\leq 15) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 1-P(X=15) \end{eqnarray*}$ sind natürlich falsch. Tatsächlich haben die wohl $\begin{eqnarray*} 1-P(X=15) \end{eqnarray*}$ errechnet. verwirrt

Ich würde nicht mit dem Gegenereignis rechnen, da das mehr Summanden sind, als wenn man es direkt ausrechnet:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 15)=\sum_{n=15}^{25}~P(X=n) \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen und ausrechnen ergibt bei mir tatsächlich dein Ergebnis! Freude

Gruß MSS

03.08.2005, 17:59

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

seien es 100 abiturienten und 70 nichtraucher (das wären 70% !)
dann haben wir 30 rote kugeln (rauchen), 70 neofrabene kugeln (nichtraucher)

aus diesen stellen wir durch ziehen (ohne zurücklegen!!) eine klasse zusammen

welches verteilungsmodell?

mfg jochen

ps: binomialapproximation funktioniert dann, wenn die anzahl der gesamt menge gegenüber der menge, die gezogen wird, groß ist
dann ist es egal, ob "mit oder ohne zurücklegen"

wenn die 70% auf die abiturienten bundesweit bezogen sind, dann passt hier z.b. binomialapproxiomation
bei einem jahrgang definitiv nicht!

03.08.2005, 18:01

Nadine1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke Euch. Freude

Hatte schon an meinem Verstnad gezweifelt! Wink

03.08.2005, 18:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, was du meinst LOED. Jetzt sehe ich auch, das Binomialverteilung nicht richtig ist, weil ja nicht mit Zurücklegen gezogen wird. Aber die Zahl, die du ansprichst, die 100, die ist doch in der Aufgabe gar nicht gegeben.

-> Aufgabe falsch gestellt!?

Gruß MSS

03.08.2005, 18:07

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

aufgabe nicht gut gestellt
je länger ich darüber nachdenke, desto eher sehe ich die 70% als 70% aller abiturienten, bundesweit, und dann ist deren anzahl groß genug, um eure binomialveteilung zu nehmen
das steht halt einfach nicht da und man kann es auffassen wie man will unglücklich

die 100 waren völlig von mir "geraten", aber um hier noch mal die wichtigkeit einer großen "zugmenge" zu zeigen, folgendes:
nimm doch mal nur 25 abiturienten (!), davon 70% nichtraucher (17,5 öhm, ja)
plötzlich ist deine wahrscheinlichkeit 1

mfg jochen

03.08.2005, 18:14

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hhhm, mir fällt jetzt erst auf, dass die Binomialverteilung ja auch für eine große Anzahl von Abiturienten nur eine Approximation, wenn auch eine gute. Und das, obwohl ich in einem Buch den Vergleich von Binomial- und hypergeometrischer Verteilung gelesen hab, wo also beschrieben wurde, dass die hypergeometrische Verteilung für $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ (N=Gesamtzahl der Kugeln) gegen die Binomialverteilung geht. Letztendlich ist aber die hypergeometrische Verteilung hier exakt und die Binomialverteilung nur approximativ, egal auf welche Abiturientenzahl die 70% bezogen sind.
Du hast also Recht LOED, die Binomialverteilung ist sowieso nur eine Annäherung dafür.

Gruß MSS

03.08.2005, 18:37

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

wobei hier dann die wirklichkeit zuschlägt: wie genau sind die 70% bei 500000 abiturienten (wert geschätzt!)?
und dann kommt man eh nicht ohne gewisse ungenauigkeiten aus, dann hat man eben 2 rundungsfehler!
deswegen würde man auch jeden belachen, der die ergebnisse ungerundet vom taschenrechner abliest.....

Zitat:

...=0,902199988

03.08.2005, 18:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Je nachdem, wie man es mag:
Gerundet für die Anwendung oder exakt wegen der/für die Mathematik.
Und ich bin für letzteres. Big Laugh

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Binominalverteilung - Wer liegt richtig?

Verwandte Themen