[Fragen]-[Beispielsammlung unbestimmte Integrale]

01.08.2005, 21:04

grybl

RE: Beispielsammlung: Verschiedene Integrale und deren Stammfunktionen

Zitat:

Durch Integration des 2. Integrals (dessen Integration im allgemeinen bekannt ist) ergibt sich dann

weiß nicht, ob $\begin{eqnarray*} \int_{}{}~(-e^{-x})dx \end{eqnarray*}$ unbedingt jedem bekannt ist, denn vom Prinzip her, muss man hier ja eine Substitution verwenden

02.08.2005, 02:23

JochenX

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RE: Beispielsammlung: Verschiedene Integrale und deren Stammfunktionen

Zitat:

Original von brunsi
Die Regel lautet: $\begin{eqnarray*} \int_{}{}~u'(x)*v(x)~dx=[u(x)*v(x)]-\int_{}{}~u(x)*v'(x)~dx \end{eqnarray*}$

Nun wähle ich:

$\begin{eqnarray*} v'(x)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)=-e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$

gewählt werden sollten hier aber u'(x) und v(x), wenn du dich an die bezeichnungen von oben halten willst.
das ist hier mehr als verwirrend so, was du denn "wählst" und was "errechnest"

27.09.2005, 10:43

Frooke

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Noch ein Detail zu den LaTeX Codes:

Von mir aus gesehen sind solche Integrale
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b x \cdot \mathrm{e}^x~\mathrm{d}x = \bigg[x \cdot \mathrm{e}^x(x-1)\bigg]_a^b \end{eqnarray*}$

viel schöner als Solche:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b x * e^x~dx = [x * e^x(x-1)]_a^b \end{eqnarray*}$

Ist zwar ein Detail, aber ich würde statt * jeweils «\cdot» verwenden und das dx mit \mathrm{d}x darstellen. Zudem ist es von Vorteil, die Grenzen mit \int\limits_a^b zu schreiben, weil sie sonst grad bei Brüchen seltsam erscheinen:

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{\int\limits_a^b x \cdot \mathrm{e}^x~\mathrm{d}x}{\bigg[x \cdot \mathrm{e}^x(x-1)\bigg]_a^b} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{\int_a^b x * e^x~dx}{x^2} \end{eqnarray*}$

Aber so eine Stammfunktionensammlung finde ich eine sehr gute Idee! Freude

18.10.2005, 21:07

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@brunsi

Integrale vom Typ $\begin{eqnarray*} \int P(x)e^{\lambda x} ~ \mathrm{dx} \end{eqnarray*}$ mit Polynomen $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum_{k=0}^m ~ a_kx^k \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ lassen sich zwar wie von dir beschrieben durch mehrfache partielle Integration lösen, aber wie man in diesem Fall $\begin{eqnarray*} m=6 \end{eqnarray*}$ sieht, ist das doch elend langwierig und fehleranfällig. Günstiger erscheint hier folgender Weg:

Der Ansatz $\begin{eqnarray*} \int P(x)e^{\lambda x} ~ \mathrm{dx} = Q(x)e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} Q(x)=\sum_{k=0}^m ~ b_kx^k \end{eqnarray*}$ gleichen Grades $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ ergibt nach Differenzieren $\begin{eqnarray*} P(x)e^{\lambda x} = Q'(x)\cdot e^{\lambda x}+Q(x)\cdot \lambda e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} P(x) = Q'(x)+\lambda Q(x) \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^m ~ a_kx^k = \sum_{k=1}^m ~ kb_kx^{k-1} + \sum_{k=0}^m ~ \lambda b_kx^k \end{eqnarray*}$ .

Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich dann die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} b_0,b_1,\ldots,b_m \end{eqnarray*}$ als Lösung eines einfach strukturierten linearen Gleichungssystems.

18.10.2005, 21:44

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Arthur,das sieht ziemlich elegant aus.Ein einfaches und kurzes Beispiel wäre vielleicht aber angebracht? Augenzwinkern

18.10.2005, 21:56

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Also gut, bezugnehmend auf brunsi Beispiel $\begin{eqnarray*} \int~x^6 \cdot e^{-2x}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ aus Beispielsammlung: Verschiedene unbestimmte Integrale aus deren Integrand eine Stammfunktion hervorge :

Da ist $\begin{eqnarray*} \lambda=-2,m=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(x)=x^6 \end{eqnarray*}$ . Der Ansatz $\begin{eqnarray*} Q(x)=b_6x^6+b_5x^5+b_4x^4+b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$ liefert dann

über $\begin{eqnarray*} P(x)=Q'(x)+\lambda Q(x) \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^6 = 6b_6x^5+5b_5x^4+4b_4x^3+3b_3x^2+2b_2x+b_1-2b_6x^6-2b_5x^5-2b_4x^4-2b_3x^3-2b_2x^2-2b_1x-2b_0 \end{eqnarray*}$

Der Koeffizientenvergleich ergibt, mit der höchsten Potenz $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ beginnend:

$\begin{eqnarray*} 1 &=& -2b_6\\ 0 &=& 6b_6-2b_5\\ 0 &=& 5b_5-2b_4\\ 0 &=& 4b_4-2b_3\\ 0 &=& 3b_3-2b_2\\ 0 &=& 2b_2-2b_1\\ 0 &=& b_1 -2b_0 \end{eqnarray*}$

Das kann jetzt aber jeder selbst ausrechnen. Augenzwinkern

19.10.2005, 11:05

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ok,danke Arthur. smile

Wer Interesse hat:

$\begin{eqnarray*} b_6=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_5=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_4=-\frac{15}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3=-\frac{-15}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2=-\frac{45}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1=-\frac{45}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_0=-\frac{45}{8} \end{eqnarray*}$

20.10.2005, 12:09

brunsi

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jup danke Arthur, hab das jetzt aber erst einmal mit Produktintegration gemacht udn nach langem und mühsamen Rechnen und konzentriert arbeitens, habe ich es auch geschafft diese langen gleichungen zusammenzufassen und dann wieder erneut abzuleiten. und ich muss sagen, ich bin aufs gleiche ergebnis gekommen.

danke dir trotzdem für den weg mit dem koeffizientenvergleich.

14.12.2007, 20:13

ushi

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darf man hier noch weitere beispiele anfügen?

Beispielsammlung: Verschiedene unbestimmte Integrale aus deren Integrand eine Stammfunktion hervorge

oder sollte man lieber einen eigenen aufmachen?

23.12.2007, 14:02

20_Cent

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Bisher haste alles richtig gemacht Freude

Bei den Partialbruchzerlegungen könnte man an ein paar Stellen einen Trick anwenden, der das Gleichungssystem überflüssig macht, ich mach mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u(u-1)}=\frac{1-u+u}{u(u-1)}=\frac{1-u}{u(u-1)}+\frac{u}{u(u-1)}=-\frac{1}{u}+\frac{1}{u-1} \end{eqnarray*}$

Hier machts noch nicht so viel Unterschied, aber es gibt Stellen, an denen das sehr sinnvoll ist.
mfg 20

23.12.2007, 16:20

ushi

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ja, das ist mir auch aufgefallen. war allerdings der meinung, dass das eine schöne und einfache übung für die partialbruchzerlegung ist. ich kann ja diese möglichkeit noch mit rein editieren bzw. zum wohl der übersichtlichkeit auf deinen beitrag verweisen.

28.12.2007, 18:40

tmo

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Zitat:

Original von ushi

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{x^2(x^2+2)}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int x\sqrt{x^2+2}~dx \end{eqnarray*}$

das stimmt nicht. hier muss man eine fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ machen.

in dem beispiel in dem thread konnte man das nur ohne bedenken so machen, da die grenzen 0 und 1 waren, man also nur nichtnegative x betrachtet.

dass die stammfunktion falsch sein muss, erkennt man auch daran, dass die ableitung einer achsensymmetrischen funktion nie achsensymmetrisch sein kann (sondern immer punktsymmetrisch ist).

28.12.2007, 19:27

Dual Space

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In Ergänzung an tmo möchte ich nur ushi nur kurz mit auf den Weg geben, dass immer $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ gilt. Augenzwinkern

04.06.2008, 13:57

Knorx

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hi,

bin gerade beim durchrechnen deiner Integrale und habe bei

etwas anderes raus.
Und zwar habe ich die Kettenregel "rückwärts" angewand. Also Aufleitung der äußeren FUnktion. Dies schien mir sinnvoll, da die Ableitung der inneren Funktion=1 ist.
und dann die +1 aufgeleitet wodurch ich auf folgendes Ergebniss komme:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{5} (x-1)^{5} + x \end{eqnarray*}$

Beim gleichsetzen mit deinem Ergbniss kam ni sinnvollwes raus.
Wo ist mein Fehler ? Wahrscheinlich ists ein dummer Fehler ^^ aber find ihn nicht ... mir brummt eh langsam der Kopf vom rechnen O_o.

Danke übrigens für deinen Beispielsthread :-)

04.06.2008, 14:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knorx
Beim gleichsetzen mit deinem Ergbniss kam ni sinnvollwes raus.

Auf welches Ergebnis nimmst du Bezug? verwirrt

04.06.2008, 14:35

Knorx

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Beispielsammlung: Verschiedene unbestimmte Integrale aus deren Integrand eine Stammfunktion hervorge

sry, ich dachte das wäre klar, da im dem Thread steht dies wäre der Fragenthread zu seinen Aufgaben :-)

Edit: Auf sein Ergebnis, was er raus hat:

04.06.2008, 15:51

klarsoweit

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Hast recht. Was brunsi da gerechnet hat, ist Schrott. Ich werde das bei Gelegenheit korrigieren. Danke für den Hinweis. Blumen

04.06.2008, 17:36

Dual Space

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Ich habe Brunsis Thread erstmal entfernt. Da muss offenbar noch einiges getan werden.

*geschlossen*

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