Volumen eines Kegelstumpfes

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svenja1 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Kegelstumpfes
hi!
ich wollte fragen, ob mir vielleicht jemand bei einer Herleitung der Formel: (r1 + r2) * s* pi
Wäre echt nett, weil ich keine Ahnung habe wie ich sie herleiten soll...

bye svenja
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines Kegelstumpfes
Schreibe dir mal dir Formel allgemein für einen Kegel auf.
Dann überlegst du mit einem neuen Radius die identische Formel für den oberen TEil.
So nun kannst du sagen

Und dann versuche das mal ein wenig umzuformen
svenja1 Auf diesen Beitrag antworten »

ok das hab ich jetzt auch gemacht, nun gut jetzt muss ich dass weiter führen und den Strahlensatz anweden. Also das erste ist ja noch klar (s2= Mantellinie des Ergänzungskegels; s= Mantellinie des Kegelstumpfes): (s2 + s)/ s2 = r1 / r2
aber jetzt brauch ich noch ne zweite Formel und da hab ich in einem Buch gelesen: s2 = (r2 * s)/ r1 - r2
die versteh ich aber leider nicht. vielleicht könnte mir da einer helfen....
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube Deakandy hat da was durcheinander gebracht. Die Formel, die svenja1 am Anfang angibt beschreibt die Mantelfläche eines Kegelstumpfs und nicht das Volumen (da pi einheitenlos ist muss es sich um eine Fläche handeln).

Vorgehensweise zur Herleitung der Formel:

1) Flächen des "aufgerollten" Kegelstumpfs berechen (es handelt sich dabei um 2 Kreissektoren mit identischem Mittelpunktswinkel, jedoch unterschiedlichem Radius. Die Radien der Kreissektoren entsprechen der Länge der Mantellinie der beim Kegelstumpf "verwendeten" Kegel -> Gesamtkegel / "abgeschnittener Oberkegel")

2) Strahlensatz verwenden

3) Umformen

Wenns noch nicht reicht, nachfragen Augenzwinkern

Happy Mathing
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Jo Danke Drödel..gut das es doch noch einer bemerkt hat.
Musste letztens für einen Nachhilfeschüler das mit dem Volumen machen und war deswegen fixiert...Sry
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Thema. Musst dich nicht entschuldigen. Ich habs dir zuerst auch geglaubt, ja ... bis ich dann gesehen hab, dass ne Flächeneinheit nix mit Volumen gemein hat . Hast halt sehr "überzeugend argumentiert" Augenzwinkern

Happy Mathing
 
 
Pilzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal noch ne Frage dazu.
Ich hab hier mal nen normalen Kegelstumpf gezeichnet und meinen Ansatz dazu...
http://ablage.gmxhome.de/info/kegelstumpf.jpg

Wär echt nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich die Formel beweisen kann... am besten mit Hilfe meines Ansatzes (wenn das möglich sein sollte)!
Vielen vielen Dank schonmal im Vorraus!

Gruß,
Pilzi
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, bei deiner Zeichnung kann man ja folgende Strahlensatzgleichung sehen:



Die jetzt nach x umformen und in



einsetzen. Umformen, fertig!!
Pilzi Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das klingt sehr einleuchtend.
Könnte mir denn jemand die Formel
http://213.239.196.197/cgi-bin/mimetex.cgi?4$\frac{r_2}{r_1}\ =\ \frac{x}{x\ +\ s}
nach "x" umstellen... vielleicht mit ein oder zwei Zwischenschritten oder den Rechenanweisungen, da bin ich nicht so der Held drin! verwirrt

Vielen Dank aber schonmal bis jetzt und würd mich echt freuen wenn sich jemand mal kurz damit beschäftigen könnte! :]
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal ein Ansatz:





Ausmultiplizieren, Produkte mit x auf eine Seite bringen, x ausklammern, durch die Klammer teilen!! Reicht das?
Pilzi Auf diesen Beitrag antworten »

jo danke... aber ich habs leider immer noch nicht ganz
Ich hab die Formel nach x umgestellt und dafür folgendes Ergebnis für x rausbekommen:
http://ablage.gmxhome.de/info/rechn01.jpg

Nu weiß ich leider nicht mehr weiter.... hab ich was falsch gemacht oder kann man da noch mehr ausrechnen?
Vielen Dank!!!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also jetzt ist es doch nur noch ein Schritt:



Die Brüche haben den gleichen Nenner, deshalb kannst du die Zähler subtrahieren:



Jetzt im Zähler ausklammern:



kommt im Zähler und im Nenner vor! Sie kürzen sich also weg, sodass nur noch die hiermit bewiesene Formel stehenbleibt:



w.z.b.w.
Pilzi Auf diesen Beitrag antworten »

ist schon gut habs selbst hingekriegt.... kommts richtige raus! Danke nochma für die schnelle Hilfe! 8)
Pilzi Auf diesen Beitrag antworten »

achja eine Sache frag ich mich nur noch.... wie kann ich den Strahlensatz
http://213.239.196.197/cgi-bin/mimetex.cgi?4$\frac{r_2}{r_1}\ =\ \frac{x}{x\ +\ s}
beweisen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Den Strahlensatz allgemein kannst du über den Projektionssatz beweisen (den Projektionssatz wiederum kannst beweisen, indem du zeigst, dass beim "Projezieren" kongruente Dreiecke entstehen)!!!
matheeler Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verzeifel ich beim umstellen deiner Formel^^
matheeler Auf diesen Beitrag antworten »

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