Funktion mehrer Veränderlicher |
| 08.08.2005, 17:45 | Igurashi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktion mehrer Veränderlicher hab mal wieder ne Aufgabe. Wo ich nicht weiß wie ich das anfange! Die Temperaturverteilung einer Fläche ist durch die Funktion T(x,y)=2*x*cosh(y)+2*y*cosh(x) gegeben. In welcher Richtung steigt die Temperatur im Punkt (0;0) am schnellsten? Wie groß ist der Betrag in dieser Richtung? Über eure hilfe währe ich dankbar! |
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| 08.08.2005, 18:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schon eigene ideen? schreit doch eigentlich nach richtungsableitungen, oder? *analysis2wissenrauskram* schon probiert? |
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| 08.08.2005, 19:11 | Igurashi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist eine Richtungsableitung? Kann man da nicht einfach die Extremwerte berechnen und gucken welche bei 0,0 höher sind? |
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| 09.08.2005, 22:59 | igurashi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann mir noch jemand nen tipp geben? |
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| 10.08.2005, 00:06 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Tipp hast du doch schon, Richtungsableitung ist hier das Mittel der Wahl. Wundert mich sehr, dass du den Begriff scheinbar nicht kennst und trotzdem diese Aufgabe gestellt bekommen hast. 
Mach dich erst einmal mit dem Begriff vertraut, Fragen kannst du natürlich gern wieder hier stellen. Gruß vom Ben |
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| 10.08.2005, 17:41 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtungsableitung gibt doch nur die Änderung in eine bestimmte Richtung an. Hier ist aber die Richtung der größten Änderung in einem Punkt gefragt. Ich bin mir nur zu 95% sicher, aber das müßte doch mit dem Gradient an dieser Stelle gehen
Oder erinnere ich mich falsch? |
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| 10.08.2005, 23:11 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja Calvin, da hast du Recht, mein Fehler. Richtungsableitung nur, wenn man sich für eine bestimmte Richtung interessiert (siehe Zusammenhang Gradient und Richtungsableitung bei Wikipedia). Also @igurashi: Sagt dir der Gradient mehr (zu)? 
Gruß vom Ben |
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| 12.08.2005, 20:32 | igurashi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab mir die die Definition angeguckt! Aber versteh ich nicht kann mir mal einer ein Beispiel geben. So das jeder das versteht?
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| 13.08.2005, 03:18 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du die Definition des Gradienten? Das ist ein Vektor. In der ersten Komponente steht die Ableitung der Funktion nach x, in der zweiten Komponente die Ableitung der Funktion nach y. Jetzt musst du nur noch die x- und y-Werte des angegebenen Punktes einsetzen und bekommst einen Vektor in Richtung der größten Änderung. Probiere es einfach mal aus und frage bei Problemen hier wieder nach 
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| 13.08.2005, 12:28 | igurashi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So habs einmal nach x abgeleitet und einmal nach y. Hab dann in jede Funktion die WErte des Punktes P(0,0) eingesetzt. Hab dann Tx(0,0)=4 Ty(0,0)=2 Das bedeutet doch jetzt für mich in X Richtung steigt die Temperatur schneller an.( Im positven) Betrag brauch ich dann doch nur sqr(4^2+2^2) =4,47 . Lieg ich da vielleicht ein wenig richtig? |
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| 13.08.2005, 12:45 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum ist das so? Und wann ist das nicht so (ich habe das Gefühl, genau dann, wenn es mehr als eine Richtung gibt, in der die Steigung maximal ist, erhält man )? Was macht man in so einem Fall? |
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| 13.08.2005, 13:52 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Gradient ist ein Vektor. Wenn du deine obigen Werte einsetzt, bekommst du und das ist die Richtung, in der sich die Temperatur am stärksten ändert. @sqrt(2) Ich weiß nicht, ob der nächste Satz mathematisch vollkommen stimmen, aber ich versuche es einfach mal
Der Gradient ist quasi die Ableitung von Funktionen mehrerer Veränderlicher. Analog zu einer Tangente im 2dimensionalen gibt es im 3dimensionalen eine Tangentialebene. Die Richtung der größten Änderung kannst du dir anschaulich vorstellen, indem du eine Kugel auf eine Tangentialebene legst. Sie rollt dann immer in die gleiche Richtung, nämlich die der größten Änderung. Somit gibt es nur in einem (von dir auch angesprochenen) bestimmten Fall die Möglichkeit, dass die Richtung nicht eindeutig ist. Wenn , dann in (x_0,y_0) entweder ein Extrem- oder ein Sattelpunkt. Oder anders gesagt, die Tangentialebene ist waagrecht und somit gibt es keine Änderung in eine bestimmte Richtung. Alle Klarheiten beseitigt?
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| 13.08.2005, 14:31 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Erklärungen so weit. Heißt das, die Tangentialebene ist für immer ? |
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| 13.08.2005, 19:44 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Keine Ahnung, ob man diese Art der Darstellung wählen kann. Du kannst gerne versuchen, es nachzurechnen
Wir haben dazu nur folgendes aufgeschrieben:Die Gleichung der Tangentialebene an die Funktion f(x,y) im Punkt P(x_0/y_0) lautet |
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