Extremwertaufgabe

08.08.2005, 18:00

Hans Meyer

Extremwertaufgabe

Aus einem Kreis sei ein Sektor so auszuschneiden, dass der sich daraus ergebende Kreiskegelmantel ein maximales Volumen bestimmt.
Ich hab ungefähr 60 Grag raus, aber auch nur deshab, weil ich die Funktion bei Derive eingegeben habe und geguckt habe, wo das absolute Max. der Funktion ist bzw. habe ich die Ableitung eingegeben und mir ange,,schaut´´ , wo die Nullstelle ist. Durch Rechnung konnte ich kein ,,explizietes´´ Ergebnis herausfinden, wahrscheinlich deshalb, da ich so etwa Newtonsche Näherungsverfahren etc. noch nicht kenne.
Viele Grüße aus Mönchengladbach, in der Nähe vom Trainingsgelände des Vfl Borussia Mönchengladbach !!

08.08.2005, 18:26

JochenX

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Zitat:

weil ich die Funktion bei Derive eingegeben habe

vielleicht sagst du uns erst mal die funktion, die du aufgestellt hast, auch gerne mit ein paar mehr erläuternden worten.
ich muss sagen, ich kann mir schon aus der aufgabenstellung grad kein bild machen: was schneidet man aus und "formt" es wie zu einem volumenhaltigen 3D-körper?

08.08.2005, 18:31

grybl

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ist die Mantelfläche gegeben?

08.08.2005, 18:33

babelfish

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naja, ich kann mir schon vorstellen, wie das mit dem ausschneiden gemeint ist, aber es wäre trotzdem hilfreich, wenn du deine schritte (derive, welche funktion, was hast du gerechnet?...) noch näher erklären könntest...
ist eigentlich irgendwas gegeben? der radius oder so?

08.08.2005, 18:36

Leopold

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Dein Ergebnis ist falsch. Richtig ist ein Winkel von $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ des Vollwinkels, also rund $\begin{eqnarray*} 294^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Und das ist auch gar nicht so schwer zu berechnen.
Vorgegeben ist ein Kreis(sektor) vom Radius $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ wird beim Falten zur Mantellinie des Kegels. Der Bogen, der zum Sektor mit dem Öffnungswinkel $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (im Bogenmaß) gehört, wird beim Falten zum Umfang des Kegelgrundkreises. Wenn dieser den Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ besitzt, so gilt also

$\begin{eqnarray*} \mu s = 2 \pi r \end{eqnarray*}$

Und jetzt beachte noch Pythagoras im Kegel und eliminiere damit $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ aus der Volumenformel ( $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ kommt dann hinein, aber das macht nichts, denn das ist konstant). Den Rest solltest du jetzt alleine hinbekommen.

EDIT
Und wenn du viel Geduld und starke Nerven hast, kannst du auch in diesem Strang einmal blättern. Es geht aber recht chaotisch zu und endet auch im Nirwana. Aber eigentlich wird dort die Lösung beschrieben.

08.08.2005, 23:18

Hans Meyer

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Ich meinte ja, dass der Ausschnittwinkel etwa 60 Grad beträgt und das, was man dann benutzt zum Falten hat etwa einen Winkel von 300Grad , ok , wie du sagst 294 Grad , ja gut, vl stelle ich morgen mal meinen Lösungsweg dar.......bis dann

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$\begin{eqnarray*} V(x)=(360-x)^2*\sqrt{1-\frac{(360-x)^2}{360^2}}*\frac{1}{3}*\frac{1}{360^2}* \pi *R^3 \end{eqnarray*}$
Ja gut, das ist meine Funktion, wobei hier statt des Ausschnittwinkels Alpha des Kreisektors hier in der Funktion x steht. (Alphs soll den Winkel des auszuschneidenden Sektors bezeichnen, der Wikel des ,,Teils´´ , das man dann dazu verwendet, um es zu einem Kreiskegelmantel zu drehen hat aöso den Winkel 360 Grad - Alpha ) ....(weiterhin nebenbei : in der Funktion habe ich überall auch ,,Grad´´ weggelassen)
Ja gut, dieses ,,Phänomen´´ dieser Funktion abzuleiten ist ja nich schwer, auch wenn es etwas aufwndig ist , aber diese lange Funktion mööchte ich hier nicht noch schreiben. Wenn ich dann die ,,Kandidaten´´ für Extremstellen suche, indem ich den Term der ersten Ableitung gleich null setze, habe ich eine sehr komplizierte Gleichung, die ich nicht lösen kann.
PS : Wie kann man bei Derive zu lösende Gleichungen eingeben ? Ich kann nämlich bisher nur Funktionen ,,plotten´´ lassen, auch weil da alles auf Englisch steht.

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auch wenn ,,Doppelposts´´ bzw. hier sogar ein ,,Trippelpost´´unerwünscht sind, aber ich kann es nicht ändern , noch eine Erläuterung dazu, wie ich auf diese Funktion ,,gekommen ´´ bin :
Den Radius des Kreises habe ich mit R ( groß R) bezeichnet, ohne viel erläutern zu müssen kann ich jetzt sagen , das der Kreis mit schon ausgeschnittenem Sektor dann folgnde Fläche hat :
$\begin{eqnarray*} A=\frac{360-x}{360}* \pi *R^2 \end{eqnarray*}$
In der Formelsammlung finden wir : Mantelfläche eines Kreiskegels :
$\begin{eqnarray*} M=\pi *r*s \end{eqnarray*}$ bzw. dann hier
$\begin{eqnarray*} M=\pi *r*R \end{eqnarray*}$
Dann kann man ja die beiden Flächen gleichsetzen , da sie ja dasselbe bezeichnen un es ergibt sich (r= Radius des Kegels) :
$\begin{eqnarray*} r=\frac{360-x}{360}*R \end{eqnarray*}$
Die Kegelhöhe ergibt sich dann ja über den Satz des Pythagoras, wenn wir den Kegel von der Seite zweidimensional als gleichschenkliges Dreieck sehen.
Viele Grüße aus Mönchengladbach, auch von allen Spielern des Vfl Borussia Mönchengladbach !!!

gegen den tripelpost kann ich was tun
edit by jochen: beiträge zusammengefügt
melde dich doch an, dann kannst du editieren; anmeldung bringt nur vorteile

09.08.2005, 23:35

klauss

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Das Problem ist, dass man bei der Anmeldung seine ,,Homepage´´ angeben muss, ich habe aber keine Momepage.

09.08.2005, 23:49

JochenX

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musst du sicher nicht, lass das feld einfach frei
es gibt genug leute ohne HP, die sich hier anmelden

sollte das anmelden nicht funktionieren ohne HP (was ich nicht glaube), dann schick doch eine PN an thomas oder jama

09.08.2005, 23:58

klauuss

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Aso, bedingt dadurch, dass ich keine Ahnung hier von Internet etc. habe, ........................ich meinte eigentlich E-mail Adresse

10.08.2005, 00:07

aRo

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Du meinst, dass man seine Email Adresse bei der Anmeldung angeben muss?

Ja, das muss man leider. Aber eigentlich hat jeder, der Internet hat, auch eine Email Adresse vom Provider.

Wenn du da nix drüber weißt, kann du auch ganz einfach eine selber machen, gehe dazu einfach zB auf: www.web.de oder www.gmx.de oder whatever.

gruß,
aRo

10.08.2005, 00:07

klauss

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ich hab grad meinen Bruder wegen derHoepage gefragt..............wir haben doch schon eine........wie gebe ich das ,,at´´ ein ?

10.08.2005, 00:08

aRo

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@ ist ganz einfach:
drücke ALT GR (rechts neben Leertaste) gleichzeitig mit Q.

aRo

11.08.2005, 18:08

Karl-Heinz Rummenigge

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Das genaue Ergebnis lautet $\begin{eqnarray*} 360-120*\sqrt{6} \end{eqnarray*}$ Grad = 66,061... Grad