Aufleitung von e^x^2

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Jana Auf diesen Beitrag antworten »
Aufleitung von e^x^2
Hi! Ich habe ein riesiges Problem mit dieser fürchterlichen e-Funktion. Ich versuche nämlich verzweifelt, an die Stammfunktion zu
2e^x^2 zu finden. Eigentlich müsste das doch (1/2x)*2e^x^2 sein, aber wenn man das wieder nach den zig Regeln ableitet, kommt etwas völlig anderes heraus. Übermorgen schreibe ich Klausur, ich bin total verzweifelt. Bitte helft mir!
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufleitung von e^x^2
Also du meinst sicher

So und nun siehst du sehr leicht, dass das Integral
sein muss
Marcyman Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei es bei viel lustiger wäre, eine Stammfunktion zu finden.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Dem kann ich nur zustimmen smile
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was ihr unter lustig versteht, aber ist nimmer "so einfach zu integrieren". Eine geschlossene Form der Stammfunktion könnt ihr gelinde gesagt "VERGESSEN" Augenzwinkern
Aber naja - was so Mathefreaks nicht alles als LUSTIG bezeichnen Augenzwinkern

Happy Mathing
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Dem kann ich nur stattgeben @Drödel.
Meinte das auch eher voller Ironie
 
 
Jana Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufleitung von e^x^2
Danke für die Antwort, aber das Problem ist, dass ich eben nicht (e^x)^2 sondern e^(x^2) meinte. Ich habe aber heute noch mal meine Mathe-Lehrerin gefragt, und die meinte, dass wir das mit unseren "Schul-Methoden" noch nicht können. Trotzdem Danke!
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufleitung von e^x^2
Da versteh ich aber deine Mathelehrerin nicht so ganz, denn
geht halt gar nicht "geschlossen" zu integrieren. Da helfen nur numerische Verfahren. Also nicht nur "noch nicht können", sondern gar nicht möglich ist hier die Antwort Augenzwinkern

Happy Mathing
BlackJack Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufleitung von e^x^2
Zitat:
Original von Drödel
Da versteh ich aber deine Mathelehrerin nicht so ganz, denn
geht halt gar nicht "geschlossen" zu integrieren. Da helfen nur numerische Verfahren. Also nicht nur "noch nicht können", sondern gar nicht möglich ist hier die Antwort Augenzwinkern

mir ist heute in mathe mal aufgefallen, dass es eigentlich ganz gut ist, dass man diese funktion nicht integrieren kann. sonst hätet man z.b. für die kumulierte binomialverteilung keine tabellen, in denen man eben schnell ratz-fatz nachschlagen kann, sondern musste ständig eine formel (nämlich die stammfkt. von e^(-x^2/2)/sqrt(2*pi)) anwenden, was ja viel stressiger wäre :P
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufleitung von e^x^2
LOL. Wie nett die Mathematik doch manchmal sein kann, gelle Augenzwinkern Aber da frag ich mich schon, "gibts da keine Taschenrechnertaste", so wie für sin, cos, tan. Dafür gabs ja früher auch Tabellenbücher, da das Ausrechnen über unendliche, aber dennoch konvergente Reihen halt auch Stress bedeutet - wie so manches Integral Augenzwinkern
Naja gibt wohl sicher so einen "StatistikTaschenrechnermeister", der das auch "integriert" hat - nette Doppelbedeutung Augenzwinkern
Andrea Auf diesen Beitrag antworten »
e^(x²)
so leuts.. ich bräuchte die stammfunktion von f(x)= e^(x²)... und ich hoff echt das mir hier jemand helfen kann.. unsere mathe lehrerin sagt wir müssten das nach allem gelernten .. in kl. 11 können... allerdings komm ich nicht weiter...
und hoff jetz das ihr mir dabei helfen könnt...!?
viele liebe grüsse
eure andrea
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Aber selbstverständlich gibt es zu exp(x^2) eine Stammfunktion in "geschlossener Form". Warum einige behaupten, es sei nicht möglich, eine solche anzugeben, ist mir schleierhaft.
Eine Möglichkeit ist zum Beispiel
-sqrt(pi)/2*i*erf(i*x) mit der Fehlerfunktion erf und der imaginären Einheit i (die Herleitung geht ganz einfach per Substitution). Normalerweise wird die Fehlerfunktion in der Schule aber nicht erwähnt, deshalb wohl auch der Kommentar deiner Lehrerin.
Jetzt wüsste ich aber trotzdem noch gerne, wie ihr zu eurer Aussage kommt, ich finde nämlich, dass das durchaus nach einer geschlossenen Form aussieht.
MatheBlaster Auf diesen Beitrag antworten »

Hi movarian,

das würde mich jetzt aber auch mal brennend interessieren, wie diese Stammfunktion zustande kommt, und was überhaupt die Fehlerfunktion ist?
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo MatheBlaster.
So, wie in einigen Analysiswerken zum Beispiel die Funktion ln als
ln: x->int[1;x] 1/t dt
definiert wird, kann man die Fehlerfunktion als
erf: x-> 2/sqrt(pi)*int[0;z] exp(-t^2) dt
definieren.
Oder man wählt, analog zur Definition der Exponentialfunktion als
exp: x-> sum[0;oo] x^k/k!
die Definition als
erf: x-> 2/sqrt(pi)sum[0;oo] x^(2*k+1)*(-1)^k/(k!*(2*k+1))
woraus sich durch gliedweises Ableiten ergibt, dass es gerade eine Stammfunktion zu 2/sqrt(pi)*exp(-x^2) ist.
Damit jetzt eine Stammfunktion zu exp(x^2) zu finden, ist nicht weiter schwer.
int exp(x^2) dx
=int exp((-1)*(-1)*x^2) dx
Wegen i^2=-1 also:
=int exp((-1)*i^2*x^2) dx
=int exp(-(i*x)^2) dx
Substitution: i*x=z
x=-i*z
dx/dz=-i
-i*int exp(-z^2) dx
-i*sqrt(pi)/2*(2/sqrt(pi)*int exp(-z^2) dz)
hier erkennt man erf(z) nach der 1. Definition:
-i*sqrt(pi)/2*erf(z)
bzw
-i*sqrt(pi)/2*erf(i*x)
wie von mir angegeben.

Weitere Informationen zur Fehlerfunktion (die eine Funktion wie jede andere ist, nur, dass sie halt meistens in der Schule nicht erwähnt wird und somit anscheinend vielen hier nicht bekannt ist; nur so kann ich mir die Behauptung, es gäbe keine "geschlossene" (was auch immer das heißen soll) Darstellung für eine Stammfunktion zu exp(x^2) erklären)unter
http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
Gruß
Philipp
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fehlerfunktion ist "eine Funktion wie jede andere", das ist richtig. Wenn du aber sagst

Zitat:
nur so kann ich mir die Behauptung, es gäbe keine "geschlossene" (was auch immer das heißen soll) Darstellung für eine Stammfunktion zu exp(x^2) erklären


stellt sich mir, wie dir, die Frage, was eine "geschlossene Darstellung" ist.

Ich verstehe darunter eine Darstellung durch Grundrechenarten (+,-,*,/), Potenzen, Wurzeln, und so genannte "elementare Funktionen", zu denen zum Beispiel sin,cos &Co, ln, exp, Absolutbetrag und Gaussklammer gehören.

Die Fehlerfunktion ist mir nicht "elementar genug". Ebensowenig die verschiedenen anderen Funktionen, die Maple zur Darstellung von Integralen und Reihen verwendet, wie "Si", "LerchPhi" und "hypergeom" - die selbst alle über Integrale oder Reihen definiert sind. Aber das ist wohl Ansichtssache.

Gruss,
SirJective
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Also da geht es mir wie SirJective. Die Fehlerfunktion ist für mich keine elementare Funktion! Denn die Fehlerfunktion wird ja nur durch Integrale oder unendlichen Reihen oder ähnliche Spielereien definiert. Und dann ein Integral durch ein anderes zu ersetzten und zu behaupten man hätte eine Stammfunktion gefunden, das find ich schon ein wenig albern. Zumindest unter den Schülern wirst du keinen finden, der dich nicht ein wenig verwundert anschaut.
Jetzt kann man natürlich einwenden, "ja aber was ist den mit sin, cos und den Brüdern die e-Fkt heißen, die lassen sich ja auch als unendliche Reihen darstellen!" Ja schon, aber die sind dem Schüler ein Begriff - wogegen erf nun halt mal nicht Schulstoff ist - soweit ich weiß an keiner Schule.
Was dann an der Uni gemacht wird ist was anderes. Und da hat ja auch kein Student gefragt, sondern "nur" ein Schüler Augenzwinkern Und bevor ich dem die Fehlerfunktion erkläre sag ich ihm einfach "Geh ned" Augenzwinkern Irgendein Matheprof darf ihn dann Jahre später gerne vom Gegenteil überzeugen.

Happy Mathing
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

@SirJective :
Was bedeutet "Die Fehlerfunktion ist mir nicht "elementar genug"".
Wo ist der Unterschied zwischen exp,arcsin etc und erf?
Auch exp wird zum Beispiel über eine Reihe definiert.
@Drödel:
Auf die Aussage von Jana, ihre Lehrerin hätte gemeint, man könne die Stammfunktion nicht mit in der Schule erlernten Verfahren bestimmen, hast du geantwortet:
"Da versteh ich aber deine Mathelehrerin nicht so ganz, denn
int exp(x^2) dx geht halt gar nicht "geschlossen" zu integrieren. Da helfen nur numerische Verfahren. Also nicht nur "noch nicht können", sondern gar nicht möglich ist hier die Antwort "

Dem wollte ich widersprechen.

Außerdem schreibst du:
"Und dann ein Integral durch ein anderes zu ersetzten und zu behaupten man hätte eine Stammfunktion gefunden, das find ich schon ein wenig albern. Zumindest unter den Schülern wirst du keinen finden, der dich nicht ein wenig verwundert anschaut."

Und was macht man beim "normalen" Integrieren anderes?
Wenn ich zum Beispiel int 1/sqrt(1-2*x^2) dx berechne, indem ich es auf das Integral int 1/sqrt(1-z^2) dz zurückführe, dem ich den willkürlichen Namen arcsin(z) gegeben habe, ist das dann sinnvoller? Wie lautet denn bitte eine Definition von arcsin ohne Integrale (Umkehrfunktion der unendlichen Reihe, die man sin Funktion nennt? Und das soll "geschlossen" sein?) Man macht es doch nur, weil man für arcsin auf dem Taschenrechner eine Taste hat und genauso sind die Werte von erf in vielen Büchern in großen Tabellen zu finden.

Naja, soviel von mir.
Gruß
Philipp
Andrea Auf diesen Beitrag antworten »
funktionen...
ma ne ganz doofe frage..
kann man 2^x integrieren..!?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Sinus, Kosinus etc. sind Funktionen, die Zusammenhänge zwischen den Bestimmungsgrößen eines rechtwinkligen Dreiecks angeben. Da die alten Griechen das schon konnten, sehe ich das als elementar an.

Der Arcussinus ist nicht bloß "erfunden" worden, um eine Stammfunktion zu benennen, sondern ist eben die Umkehrfunktion des Sinus - der Basiswinkel, der sich für ein vorgegebenes Verhältnis von Gegenkathete zur Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt. Das halte ich für ziemlich elementar.

Die Funktion exp kann man als willkürlich gewählte Exponentialfunktion f(x) = a^x ansehen. Die kann man, muss man aber nicht über eine unendliche Reihe angeben - es geht z.B. auch (unter Voraussetzung der Stetigkeit) durch Approximation mit rationalen x.

Natürlich gibt es einen unscharfen Grenzbereich - ist der Umfang einer Ellipse noch elementar? Man kann die Ellipse zwar vollständig exakt zeichnen (wenn auch nicht nur mit Zirkel und Lineal), aber ihren Umfang nicht allein durch die die von mir als elementar bezeichneten Funktionen angeben (glaub ich... verwirrt korrigier mich, wenn ich da falsch liege).

Wenn du mir sagst, welche Bedeutung die Fehlerfunktion über ihre Eigenschaft als Stammfunktion von exp(x^2) noch hat, kann ich vielleicht meine Vorstellung von dieser Funktion überdenken. Wie hängt sie z.B. mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen zusammen?

Gruss,
SirJective
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen...
Zitat:
Original von Andrea
ma ne ganz doofe frage..
kann man 2^x integrieren..!?


Ja kann man...

Indem man 2^x darstellt als exp(x*ln(2)) und dann die Kettenregel anwendet.
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Von Wahrscheinlichkeitsrechnung habe ich keine Ahnung, aber soweit ich weiß tritt die Fehlerfunktion bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit normalverteilten Größen auf (hoffentlich korrigiert mich jemand, wenn ich falsch liege) und ist damit zum Beispiel in der Physik von großer Bedeutung.

Das Beispiel mit der Ellipse wollte ich auch gerade bringen. So, wie man bei der Berechnung der Bogenlänge der Funktion sqrt(1-x^2) (deren Schaubild ja ein Halbkreis mit Radius 1 ist) über einem Intervall der x-Achse auf das unlösbare Integral int 1/sqrt(1-x^2) dx stößt, bekommt man es bei der Berechnung der Bogenlänge einer Ellipse mit Integralen vom Typ int sqrt(1-k^2*sin(x)^2) dx zu tun. Die Werte von beiden lassen sich nicht exakt berechnen (durch endliche Zusammensetzung von Additionen, Wurzeln etc), beide besitzen jedoch eine elementargeometrische Bedeutung. Trotzdem behaupten viele, das 1. Integral sei brav und bekannt wogegen das 2. unlösbar sein soll, dabei werden die elliptischen Integrale schon lange untersucht, es gibt Additionstheoreme wie bei den trigonometrischen Funktionen etc.
Ich werde also nie verstehen, warum man da einen Unterschied machen sollte.
Bis dann
Philipp
Drödel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von movarian
Und was macht man beim "normalen" Integrieren anderes?
Wenn ich zum Beispiel int 1/sqrt(1-2*x^2) dx berechne, indem ich es auf das Integral int 1/sqrt(1-z^2) dz zurückführe, dem ich den willkürlichen Namen arcsin(z) gegeben habe, ist das dann sinnvoller? Wie lautet denn bitte eine Definition von arcsin ohne Integrale (Umkehrfunktion der unendlichen Reihe, die man sin Funktion nennt? Und das soll "geschlossen" sein?) Man macht es doch nur, weil man für arcsin auf dem Taschenrechner eine Taste hat und genauso sind die Werte von erf in vielen Büchern in großen Tabellen zu finden.


So ganz uneinig sind wir uns ja gar nicht, nur sehe ich das halt anders im Bezug auf die Schule / auf Schüler (bis zum Abi)

Zitat:
Original von Drödel
Jetzt kann man natürlich einwenden, "ja aber was ist den mit sin, cos und den Brüdern die e-Fkt heißen, die lassen sich ja auch als unendliche Reihen darstellen!" Ja schon, aber die sind dem Schüler ein Begriff - wogegen erf nun halt mal nicht Schulstoff ist - soweit ich weiß an keiner Schule.
Was dann an der Uni gemacht wird ist was anderes. Und da hat ja auch kein Student gefragt, sondern "nur" ein Schüler Augenzwinkern Und bevor ich dem die Fehlerfunktion erkläre sag ich ihm einfach "Geh ned" Augenzwinkern Irgendein Matheprof darf ihn dann Jahre später gerne vom Gegenteil überzeugen.


Zitat:
Original von SirJective
Sinus, Kosinus etc. sind Funktionen, die Zusammenhänge zwischen den Bestimmungsgrößen eines rechtwinkligen Dreiecks angeben. Da die alten Griechen das schon konnten, sehe ich das als elementar an.
Der Arcussinus ist nicht bloß "erfunden" worden, um eine Stammfunktion zu benennen, sondern ist eben die Umkehrfunktion des Sinus - der Basiswinkel, der sich für ein vorgegebenes Verhältnis von Gegenkathete zur Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt. Das halte ich für ziemlich elementar.


Das sehe ich auch so, nur viele Schüler sehen selbst das TOTAL anders. "Arcus was war das? - Das ist doch der INVTangens, oder?" und ähnliche Sätze sind da bei uns (auch noch im Leistungskurs Mathe) gefallen.

Zitat:
Original von SirJective
Natürlich gibt es einen unscharfen Grenzbereich - ist der Umfang einer Ellipse noch elementar? Man kann die Ellipse zwar vollständig exakt zeichnen (wenn auch nicht nur mit Zirkel und Lineal), aber ihren Umfang nicht allein durch die die von mir als elementar bezeichneten Funktionen angeben (glaub ich... verwirrt korrigier mich, wenn ich da falsch liege).


Aber dass man so ne Ellipse mit 2 "Stäben" und einem Seil prima in den Sand zeichnen kann, dass macht sie doch wieder sympatisch, oder? Augenzwinkern

Zitat:
Original von movarian
Von Wahrscheinlichkeitsrechnung habe ich keine Ahnung, aber soweit ich weiß tritt die Fehlerfunktion bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit normalverteilten Größen auf (hoffentlich korrigiert mich jemand, wenn ich falsch liege) und ist damit zum Beispiel in der Physik von großer Bedeutung.


Physik... mmmm. stecks in die theoretische Physik, dann kannste fast nicht falsch liegen. Augenzwinkern Die "Theophysik" war zwar nicht gerade mein "Hassfach", aber es gab Interessanteres. Die "Theophysiker" schlucken so ziemlich alles an Mathematik, um ihre Probleme zu lösen. Für die ist erf nur was für den "Vorwaschgang". Wer so "nette" Funktionen wie die delta-Funktion oder Gleichungen wie (Klein-Gordon-Gleichung - "Schrödinger-Gleichung für Einsteinfans" Augenzwinkern ) ständig verwendet, der hat auch was für erf "übrig" Augenzwinkern

Happy Mathing
Marcell Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung
Hallo Zusammen,

kann mir jemand verraten wie die 1. Ableitung von e^x^2 ist.

Danke und Gruß

Marcell
Oedipus Auf diesen Beitrag antworten »

hey die Ableitung von müsste sein.
Oedipus Auf diesen Beitrag antworten »

aber was is die Aufleitung von ??
und von ??
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Oedipus
aber was is die Aufleitung von ??


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