beliebiger Punkt -> extremaler Flächeninhalt

11.08.2005, 18:34

Akeyaranu

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beliebiger Punkt -> extremaler Flächeninhalt

Einen wunderschönen guten Tag euch allen.

Ich habe ein kleines Problem:

Gegeben ist folgende gebrochen rationale Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{8}{x^2} \end{eqnarray*}$

Die folgendermaßen aussieht:

Die Aufgabe lautet:

Ein beliebiger Punkt P(u/v) liegt auf der Kurve K der Funktion f(x). Die Parallele zur x-Achse durch P(u/v) schneidet die y-Achse in Q. Die Parallele zur y-Achse durch P(u/v) schneidet die x-Achse in R. Der Ursprung, Q und R sind Eckpunkte eines Dreiecks. Für welche Lage des Punktes P(u/v) wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks extremal?

Das Problem bei der ganzen Sache ist folgendes:

Wie man sieht nähert sich die Kurve zu beiden Seiten des Ursprungs dem Unendlichen. Wie soll man da ein Maximum bestimmen?

11.08.2005, 19:07

Sephiroth

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wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe dann ist z.B.
im ersten Quatranten die Fläche deines gesuchten Dreiecke doch

A(u) = u * f(u) * (1/2) mit u aus R+\{0}

und damit ist doch die Polstelle bei Null nicht mehr wirklcih interessant.

11.08.2005, 19:30

Akeyaranu

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Danke für die Antwort.

Dass der Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe von u und f(u) berechnet wird war mir ja auch klar.

Meine Mathelehrerin will aber, dass wir für den Punkt P Koordinaten finden, bei denen der Flächeninhalt maximal wird. Meiner Auffassung nach ist das aber nicht möglich, da P jeder beliebige Punkt auf dem Graphen sein kann und der Graph und somit auch P theoretisch unendlich sind. Und einen unendlichen Flächeninhalt gibt es ja nicht...

Kannst du jetzt etwas damit anfangen? Oder denke ich einfach nur in die ganz falsche Richtung?

11.08.2005, 19:46

lego

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seh ich eigentlich genauso wie du, minimum wäre vielleciht noch interesant aber maximum wird unendlich groß, so wie ich das auffasse

11.08.2005, 20:00

Sephiroth

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jo stimmt bei Maximum ist die Aufgabe natürlich wenig sinvoll aber bei der Frage

Zitat:

Für welche Lage des Punktes P(u/v) wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks extremal?

ist es ja auch möglich, dass das Minimum gesucht wird. Ob da was Sinvolles vielleicht raus kommt...

11.08.2005, 21:26

Akeyaranu

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Ihr meint also ich soll einfach sagen, dass P das Minimum ist und damit den Flächeninhalt ausrechnen?

Achso nochwas: meine Lehrerin hat was von Haupt- und Nebenbedingung sowie Zielfunktion erzählt, was ja auch Sinn macht, schließlich ist das ja eine Extremwertaufgabe.

Hauptbedingung ist ja nicht schwer: A(u,v) = u*v*0,5

Nebenbedingung ist schon schwieriger: vielleicht P auf K?

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11.08.2005, 21:32

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Akeyaranu
Ihr meint also ich soll einfach sagen, dass P das Minimum ist und damit den Flächeninhalt ausrechnen?

In der Aufgabe soll die Fläche extremal werden, das heißt maximal oder minimal.

Zitat:

Original von Akeyaranu
Hauptbedingung ist ja nicht schwer: A(u,v) = u*v*0,5

Nebenbedingung ist schon schwieriger: vielleicht P auf K?

Jein. Wenn du die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung einfließen lässt. soll nur noch eine Variable überbleiben. Du musst einfach v eliminieren. Wie du das machst, implizierst du mit "P auf K", aber die Nebenbedingung lässt sich auch als Gleichung darstellen.

12.08.2005, 10:26

Akeyaranu

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Ist es möglich die Gleichung für P auf K so auszudrücken: $\begin{eqnarray*} f(u)=u+\frac {8} {u^2} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja kann ich theoretisch A(u,f(u)) und f(u) gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} A(u,f(u))=f(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u*v*0,5=u+\frac {8} {u^2} \end{eqnarray*}$ | /(u*0,5)

$\begin{eqnarray*} v=\frac{u+8*u^{-2}} {u*0,5} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt in A(u,v) einsetze hab ich doch eigentlich v eliminiert, oder?

$\begin{eqnarray*} A(u)=u*\frac{u+8*u^{-2}} {u*0,5}*0,5 \end{eqnarray*}$ <-Zielfunktion

Und wie krieg ich da jetzt das Maximum (Minimum) raus? Vorausgesetzt, dass meine ganze Rechnerei richtig ist?

12.08.2005, 11:05

derkoch

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auf die gefahr, daß ich blödsinn rede Forum Kloppe

Forum Kloppe

, habe dein beitrag nur überflogen;
du kannst min bzw. max einer funktion (extrema) überprüfen, indem die die ableitungen bildest und diese dann den entsprechenden bedingungen anschaust.

12.08.2005, 14:00

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Akeyaranu
Ist es möglich die Gleichung für P auf K so auszudrücken: $\begin{eqnarray*} f(u)=u+\frac {8} {u^2} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja kann ich theoretisch A(u,f(u)) und f(u) gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} A(u,f(u))=f(u) \end{eqnarray*}$

Nein, nein, das ist falsch. Alleinschon der Einheiten wegen: A(u, v) hat die Einheit Flächeneinheiten f(u) die Einheit Längeneinheiten.

Nimm irgendein Dreieck mit der Seitenlänge u auf der x-Achse, dessen dritte Ecke auf dem Graphen liegt. Was ist jetzt v?

12.08.2005, 14:27

Akeyaranu

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v ist dann die strecke zwischen u und dem dritten Punkt, sprich f(u).

12.08.2005, 14:32

sqrt(2)

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Genau, da f(u) nur von u abhängt, kannst du ja jetzt A(u, v)=1/2*u*v zu A(u) machen; damit hast du dann deine Zielfunktion.

12.08.2005, 14:41

Akeyaranu

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klar,klar

$\begin{eqnarray*} A(u)=u*u+\frac{8}{u^2}*0,5 \end{eqnarray*}$

verkürzt: $\begin{eqnarray*} A(u)=u^2+\frac{4}{u^2} \end{eqnarray*}$

und wie finde ich jetzt ein extremales u? einfach die erste Ableitung bilden und 0 setzen?

12.08.2005, 14:44

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Akeyaranu
$\begin{eqnarray*} A(u)=u*u+\frac{8}{u^2}*0,5 \end{eqnarray*}$

Nein! Klammern!

Zitat:

Original von Akeyaranu
und wie finde ich jetzt ein extremales u? einfach die erste Ableitung bilden und 0 setzen?

Ja.

12.08.2005, 14:57

Akeyaranu

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ups, also $\begin{eqnarray*} A(u)=u*(u+\frac{8}{u^2})*0,5 \end{eqnarray*}$

1.Ableitung: $\begin{eqnarray*} A'(u)=1*(1-16*u^{-3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=1-16*u^{-3} \end{eqnarray*}$ | +(16*u^{-3}

$\begin{eqnarray*} 16*u^{-3}=1 \end{eqnarray*}$ | /u^{-3}

$\begin{eqnarray*} 16=\frac{1}{u^{-3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16=u^3 \end{eqnarray*}$ | dritte Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} u=2,519 \end{eqnarray*}$

ist das jetzt mein extremaler Wert für u?

12.08.2005, 15:08

derkoch

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ich habe für die ableitung was anderes raus, wenn ich davon ausgehe, daß deine ausgangsfunktion stimmt.

12.08.2005, 15:15

Akeyaranu

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Dass die Ausgangsfunktion richtig ist hat mir doch sqrt(2) bestätigt.

Das interessante an der ganzen Sache ist allerdings, dass der Wert für u, also 2,519, genau der x-Wert des Minimums der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{8}{x^2} \end{eqnarray*}$ ist. Da hätte ich mir die ganze Mühe auch sparen können...

12.08.2005, 16:14

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Akeyaranu
Dass die Ausgangsfunktion richtig ist hat mir doch sqrt(2) bestätigt.

Ja, die Ableitung ist aber falsch.

Zitat:

Original von Akeyaranu
Das interessante an der ganzen Sache ist allerdings, dass der Wert für u, also 2,519, genau der x-Wert des Minimums der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x+\frac{8}{x^2} \end{eqnarray*}$ ist. Da hätte ich mir die ganze Mühe auch sparen können...

Nein, denn wie hättest du das -- wenn es denn wirklich so wäre -- vorher wissen können? Selbstverständlich ist das wirklich nicht.

12.08.2005, 19:08

Akeyaranu

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Gebt mir doch mal nen Tipp (abgesehen von den anderen) was an der Ableitung falsch ist. Sind es wieder die Klammern?

12.08.2005, 19:26

derkoch

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Zitat:

Original von Akeyaranu
Gebt mir doch mal nen Tipp (abgesehen von den anderen) was an der Ableitung falsch ist. Sind es wieder die Klammern?

wenn du uns hinschreibst wie deine schritte sind , könne wir dir es auch exakt sagen! smile

smile

13.08.2005, 09:33

Akeyaranu

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Ok.

Die Ausgangsfunktion $\begin{eqnarray*} A(u)=u*(u+\frac{8}{u^2})*0,5 \end{eqnarray*}$

Die Funktion heißt ja A von u, also muss nach u abgeleitet werden.

Ahhh, mir ist gerade eigefallen was ich vergessen hab: die innere Ableitung!

Da ich aber keine Lust hab die zu machen multipliziere ich die Klammern einfach aus. $\begin{eqnarray*} A(u)=0,5u^2+\frac{4}{u} \end{eqnarray*}$

Jetzt die erste Ableitung: 0,5*2=1, den Exponent um 1 verringern -> $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$

+

Das u hol ich wieder hoch -> $\begin{eqnarray*} 4*u^{-1} \end{eqnarray*}$
Ableitung: $\begin{eqnarray*} -4*u^{-2} \end{eqnarray*}$

Führe ich das jetzt zusammen ergibt das meine Ableitung: $\begin{eqnarray*} A'(u)=u-4*u^{-2} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin richtig?

13.08.2005, 11:15

sqrt(2)

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Ja.

13.08.2005, 11:38

Sephiroth

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Wobei ich mir nicht ganz sicher bin ist ob man nicht drei Fälle hat mit:

u > 0

A(u) = u * f(u) * 0,5

-2 < u < 0

A(u) = -u * f(u) * 0,5

u < -2

A(u) = -u * (-f(u)) * 0,5

oder allg.

$\begin{eqnarray*} A(u) = \mid u \mid * \mid f(u) \mid * 0,5 \end{eqnarray*}$

allerdings weiß ich nicht wie ich ableiten kann und nach u auflösen ohne die genannten Fälle einzeln zu betrachten.

13.08.2005, 11:47

sqrt(2)

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Im Prinzip hast du Recht. Die Aufgabe wäre dann aber langweilig, weil das minimale Dreieck die Fläche null hätte (u = -2).

13.08.2005, 12:44

Akeyaranu

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also gut, dann weiter...

$\begin{eqnarray*} A'(u)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=u-4*u^{-2} \end{eqnarray*}$ | + 4*u^{-2}

$\begin{eqnarray*} u=4*u^{-2} \end{eqnarray*}$ | /(u^{-2}

$\begin{eqnarray*} 4=\frac{u}{u^{-2}} \end{eqnarray*}$ | u hoch

$\begin{eqnarray*} 4=u*u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4=u^3 \end{eqnarray*}$ | dritte Wurzel

$\begin{eqnarray*} u=1,58 \end{eqnarray*}$

richtig?

13.08.2005, 12:48

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Akeyaranu
$\begin{eqnarray*} 4=u^3 \end{eqnarray*}$ | dritte Wurzel

Bis hierhin richtig.

Zitat:

Original von Akeyaranu
$\begin{eqnarray*} u=1,58 \end{eqnarray*}$

Das Gleichheitszeichen ist objektiv falsch. Gib lieber das Ergebnis als Wurzel an, das ist nämlich genau, dann kannst du ein Gleichheitszeichen setzen. Wenn du unbedingt eine Dezimalzahl hinschreiben willst, dann verwende ein Ungefährzeichen und vor allen Dingen: runde richtig!

14.08.2005, 09:09

Akeyaranu

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Ok, denke mal den Rest krieg auch so hin.

Vielen Dank für eure Hilfe Freude

Freude

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