Bestimmtes Integral Bezier- Kurve

16.08.2005, 10:32	Luv	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmtes Integral Bezier- Kurve Eine Bezier- Kurve, gültig im Bereich x[a,b], sei durch folgende Funktion definiert: $\begin{eqnarray} P(x) = \sum_{i=0}^n~ C_i \frac{1}{(b - a)^{n}} * \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} * (x - a )^{i} * (b - x)^{n-i} \end{eqnarray}$ Es soll das bestimmte Integral: $\begin{eqnarray} I = \int_{a}^{b}~P(x)~dx \end{eqnarray}$ berechnet werden. Mit Beispielrechnungen habe ich für n = 2, 3, 4 und 5 herausgefunden: $\begin{eqnarray} I = \frac{1}{n + 1} * (b - a) * \sum_{i=0}^n~C_i \end{eqnarray*}$ Handelt es sich hierbei um eine allgemein gültige Lösung ? edit by jochen: habe mal die integralgrenzen korrigiert dann ist es vielleicht alles in allem besser zu überschauen
16.08.2005, 11:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist kein Zufall. Setze für $\begin{eqnarray} 0 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ zur Abkürzung $\begin{eqnarray} \gamma_i \ = \ \int_a^b~(x-a)^i (b-x)^{n-i}~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} \gamma_0 = \frac{(b-a)^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ sowie für $\begin{eqnarray} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ die Rekursion $\begin{eqnarray} \gamma_i = \frac{i}{n+1-i} \ \gamma_{i-1} \end{eqnarray}$ die man durch partielle Integration findet. Mehrfache Anwendung liefert $\begin{eqnarray} \gamma_i = \frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1) {n \choose i}} \end{eqnarray}$ Und daraus folgt: $\begin{eqnarray} \int_a^b~P(x)~\mathrm{d}x \ = \ \frac{1}{(b-a)^n} \sum_{i=0}^n~C_i {n \choose i} \gamma_i \ = \ \frac{b-a}{n+1} \sum_{i=0}^n~C_i \end{eqnarray}$ Übrigens: Bei dir sind die Integrationsgrenzen versehentlich vertauscht.
17.08.2005, 07:41	Luv	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold. Es stimmt, die Integrationsgrenzen sind versehentlich vertauscht.

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