Zufallsgröße Rechteck

16.08.2005, 14:20

tobi25s

Auf diesen Beitrag antworten »

Zufallsgröße Rechteck

Folgende Aufgabe soll ich lösen:

Auf einer 10cm langen Strecke AB wird zufällig ein Teilungspunkt C gewählt und ein Rechteck mit den Seitenlängen AC und CB gebildet. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist eine Zufallsgröße X.
Bestimmen Sie F(x), f(x), E(X), D²(X).

also:
X= AC*CB (max. 5*5=25)

E(X)= $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~x f(x)~dx \end{eqnarray*}$

D²(X) = $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~[x-E(X)]²x f(x)~dx \end{eqnarray*}$

gilt für:

f(x)= F(X)=0 für x kleiner 0
f(x)=F(X)= 0 für x größer 10
f(x)= F(X) =x/10 für x zwischen 0 und 10

???

16.08.2005, 14:28

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zufallsgröße Rechteck
ich vermute f(x) = 10 - x
werner

16.08.2005, 14:49

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tobi25s
f(x)=F(X)= 0 für x größer 10
f(x)= F(X) =x/10 für x zwischen 0 und 10

Da verwechselst du was: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks, nicht der Teilungspunkt auf der Strecke!

Dieses $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ lässt sich nun aber gemäss $\begin{eqnarray*} X=Y(10-Y) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ... Teilungspunkt auf der Strecke AB

ausdrücken. Dabei gehen wir davon aus, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall [0,10] gleichverteilt ist.

Weiter geht's dann mit

$\begin{eqnarray*} F_X(x)=P(X<x)=P(Y(10-Y)<x)=P(Y^2-10Y+25>25-x)=P(|Y-5|>\sqrt{25-x}) \end{eqnarray*}$

letzteres natürlich nur für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 25 \end{eqnarray*}$ gültig... Aber jetzt habe ich schon zuviel verraten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2005, 17:17

tobi25s

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

das wäre also F(X)?

sind meine Formel für die Berechung von E(X) und D²(X) richtig ??

16.08.2005, 17:59

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so ganz:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ x f_X(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X) = \mathbb{D}^2(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ [x-\mathbb{E}(X)]^2 f_X(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Im vorliegenden Fall artet das aber in wüste Rechnerei aus - deswegen ist hier der Weg über

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(Y(10-Y)) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X) = \mathbb{E}(X^2)-\left(\mathbb{E}(X)\right)^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2(10-Y)^2) \end{eqnarray*}$

eindeutig vorzuziehen. Alles, was man nach Ausmultiplizieren dann braucht, sind die Momente $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^k) \end{eqnarray*}$ der gleichverteilten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , und das ist im Vergleich zu dem anderen Weg eine geradezu spielend einfache Integrationsübung.

EDIT: Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ noch nicht fertig berechnet, ich habe es ja oben nur erstmal auf die einfach beherrschbare gleichverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zurückgeführt. Aber von da ist es nur noch ein kleiner Schritt...

Übrigens, warum schreibst du immer "F(X), f(x)" ? Das Argument ist in beiden Fällen eine reelle Zahl x, also schreib lieber konsequent "F(x), f(x)" .

16.08.2005, 21:04

tobi25s

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y^k) \end{eqnarray*}$ für gleichmäßig verteilte Y
= 1/2 (x1+xn)= 1/2 (0+10) ??

Anzeige

16.08.2005, 21:18

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig für $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(Y^1) \end{eqnarray*}$ , also Exponent k=1. Für den von mir oben vorgeschlagenen Weg brauchst du aber auch noch die Exponenten k=2, 3 und 4. Aber das ist allemal einfacher in der Berechnung als über die Dichte von X, die du allerdings auch noch berechnen sollst, oder?

16.08.2005, 21:34

tobi25s

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso für nur für die Exponenten 1,2.3 und 4 ??

16.08.2005, 21:38

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen

$\begin{eqnarray*} X^2 = \left( Y(10-Y) \right)^2 = Y^2 (100 - 20Y + Y^2) = Y^4 - 20Y^3 + 100Y^2 \end{eqnarray*}$

Und dann kannst du die Linearität des Erwartungswertes verwenden.

Edit

Kleine Variante zu Arthurs Vorschlag (wenn man genau hinschaut, ist es dann doch dasselbe):

Wenn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \Omega = [a,b] \end{eqnarray*}$ die Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ besitzt und durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ transformiert wird: $\begin{eqnarray*} X = \varphi(Y) \end{eqnarray*}$ , dann kann man den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gemäß

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}X = \int_{\Omega}^{}~\varphi(t) f(t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

berechnen.

Hier ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \Omega = [0,10] \end{eqnarray*}$ mit der konstanten Dichte $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ . Wenn du also z.B. $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}\left( X^2 \right) = \mathcal{E} \left[ \left( Y(10-Y) \right)^2 \right] \end{eqnarray*}$ berechnen willst, ist $\begin{eqnarray*} \varphi(t) = \left( t(10-t) \right)^2 \end{eqnarray*}$ , du hast also lediglich

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E} \left( X^2 \right) = \int_0^{10}~\left( t(10-t) \right)^2 \cdot \frac{1}{10}~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

zu berechnen.

17.08.2005, 09:09

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist wirklich gehupft wie gesprungen. Und auch bei dem direkten (?) Weg

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ [x-\mathbb{E}(X)]^2 f_X(x) ~ \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

wird man dann bei der konkreten Integralberechnung de fakto zu einer Substitution gezwungen, die auf ebensolche Integrale wie beim $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ -Umweg führt.
So gesehen relativiert sich die Bezeichnung "direkter Weg". Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.08.2005, 11:12

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ein kleines Programm geschrieben, das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als Zufallsexperiment simuliert. Es hat aber 384 kB (als .zip 200 kB). Gibt es eine Möglichkeit, das hier hereinzustellen?

17.08.2005, 12:34

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

An sich nicht. 384 kB für so eine kleine Aufgabe klingt aber auch brutal... Womit hast du es denn geschrieben? Kannst du nicht auf irgendwelche Bibliotheken verzichten? Oder häng doch mal den Quellcode an, vielleicht kann ein anderer daraus etwas kleineres basteln.

Alternativ gibt es noch Dienste, die Dateien für dich temporär kostenlos hosten. Mir fällt jetzt allerdings keiner ein, Google dürfte helfen.

17.08.2005, 13:01

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist halt ein Delphi-Programm für Windows. Kleiner geht's nicht.
Alternativ könnte man vielleicht ein Java-Applet basteln. Das ist aber lange her, daß ich so etwas gemacht habe. Dann lassen wir es. So wichtig ist es auch wieder nicht.

17.08.2005, 13:12

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Ich habe ein kleines Programm geschrieben, das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als Zufallsexperiment simuliert. Es hat aber 384 kB (als .zip 200 kB). Gibt es eine Möglichkeit, das hier hereinzustellen?

Mir schicken, ich stells bei mir auf den server und geb den Link raus, wenns wichtig ist.

Jan

17.08.2005, 18:48

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Post, wegen neue Info:
Rechteck runterladen

Bleibt min 4 Monate drin, danach keine Ahnung...

17.08.2005, 19:02

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, Jan! Mit Zunge

Mit Zunge

17.08.2005, 21:29

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

[OT]

Zitat:

Original von Leopold
Es ist halt ein Delphi-Programm für Windows. Kleiner geht's nicht.

Doch. Lass die VCL weg. (PDF, 1,8 MB)

[/OT]

17.08.2005, 22:37

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch [OT]

Kenne ich von Visual C - da kriegt man ohne MFC, also nur unter Verwendung des Platform SDK, Programme dieser Funktionalität so im Bereich 40 .. 60 kByte hin. Wird hier wohl so ähnlich sein...

[/OT]

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »