Bedinge Verteilung berechnen

11.02.2008, 08:30

GandalfX86

Bedinge Verteilung berechnen

Eine eigentlich einfache Aufgabe (nur ich komme nicht auf die Lösung):
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind unabhängige Zufallsvariablen mit den Verteilungsdichten: (Geändert; $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ waren natürlich Unsinn)
$\begin{eqnarray*} p_a(a) = \begin{cases} \frac{1}{a^2} & \mathrm{f\ddot ur} \ a \ge 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_b(b) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \mathrm{f\ddot ur} \ |b| \le 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist definiert als: $\begin{eqnarray*} c = a \cdot b + 1 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun: $\begin{eqnarray*} p_{c|a}(c|a) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal!

11.02.2008, 10:08

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Die Formulierung mit dem Durcheinanderwerfen von Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ und reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ist schon etwas schlampig. Meinst du nicht eher sowas:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sind unabhängige stetige Zufallsvariablen mit den Verteilungsdichten:
$\begin{eqnarray*} p_X(a) = \begin{cases} \frac{1}{a^2} & \mathrm{f\ddot ur} \ a \ge 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_Y(b) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \mathrm{f\ddot ur} \ |b| \le 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist definiert als: $\begin{eqnarray*} Z = X \cdot Y + 1 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist nun die bedingte Verteilungsdichte $\begin{eqnarray*} p(Z \bigm| X=a) \end{eqnarray*}$ .

Das kann man jetzt für penibel halten, aber m.E. nach steckt da meist inhaltliches Unverständnis dahinter.

Zum Inhalt. Zunächst die bedingte Verteilungsfunktion für $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ (der andere Fall $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ ist wegen der Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eh uninteressant):

$\begin{eqnarray*} P(Z \leq c \bigm| X=a) = P(XY+1 \leq c \bigm| X=a) = P(aY+1 \leq c \bigm| X=a) = P(aY+1 \leq c) = P\left( Y \leq \frac{c-1}{a} \right) \end{eqnarray*}$ ,

das vorletzte Gleichheitszeichen wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist (hoffentlich) Routine.

11.02.2008, 10:14

GandalfX86

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Sorry ich hatte mich leider vertippt. Ist jetzt oben korrigiert.

11.02.2008, 15:45

GandalfX86

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Ehrlichgesagt verstehe ich nicht ganz was mit deiner Rechnung gemeint ist. (Vermutlich weil ich die Variablen falsch benannt hatte).

Ich meine für so eine Aufgabe mal eine Formel gesehen zu haben mit einer Ableitung im Nenner, und im Zähler stand eine Verteilungdichte. Diese Formel kann ich aber in meinen Unterlagen nicht mehr finden. Die Lösung soll übrigends $\begin{eqnarray*} \begin{cases}\frac{1}{2a} &\mathrm{f\ddot ur}\ 1-a \le c \le 1+a\\ 0 &\mathrm{ sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ sein.

11.02.2008, 15:47

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Das hast du wohl überlesen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Der Rest ist (hoffentlich) Routine.

Ich habe nicht behauptet, dass das oben von mir eine Komplettlösung war. Ableiten (nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ) musst du die bedingte Verteilungsfunktion schon noch selber...

EDIT:

Zitat:

Original von GandalfX86
Ehrlichgesagt verstehe ich nicht ganz was mit deiner Rechnung gemeint ist. (Vermutlich weil ich die Variablen falsch benannt hatte).

Meinen obigen Einwand hast du da völlig missverstanden, deine anschließende Korrektur hat nämlich alles nur noch verschlimmert: Jetzt benutzt du das Symbol $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sowohl für die Zufallsgröße als auch für den Wert, den sie annehmen kann, genauso bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Dass du da am Ende nicht mehr durchblickst, was wie zu berechnen ist, wundert mich kein bisschen.

11.02.2008, 18:23

GandalfX86

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Meinen obigen Einwand hast du da völlig missverstanden, deine anschließende Korrektur hat nämlich alles nur noch verschlimmert: Jetzt benutzt du das Symbol $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sowohl für die Zufallsgröße als auch für den Wert, den sie annehmen kann, genauso bei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

genauso stehts aber in der Aufgabenstellung

11.02.2008, 19:37

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Schlimm genug. Aber vielleicht konzentrierst du dich besser auf die Lösung, es ist doch nur noch ein Schritt:

Aus der bedingten Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_{Z|X}(c,a) = P(Z \leq c \bigm| X=a) = P\left( Y \leq \frac{c-1}{a} \right) = F_Y\left( \frac{c-1}{a} \right) \end{eqnarray*}$

entsteht durch Ableiten nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die zugehörige bedingte Dichte. Dabei aber auf die Kettenregel achten:

$\begin{eqnarray*} p_{Z|X}(c,a) = \frac{\dd}{\dd c} F_Y\left( \frac{c-1}{a} \right) = F_Y'\left( \frac{c-1}{a} \right) \cdot \frac{\dd}{\dd c} \left( \frac{c-1}{a} \right) = p_Y\left( \frac{c-1}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ .

Tja, und jetzt nur noch dein obiges

$\begin{eqnarray*} p_Y(b) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \mathrm{f\ddot ur} \ |b| \le 1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

einsetzen, natürlich für das Argument $\begin{eqnarray*} b=\frac{c-1}{a} \end{eqnarray*}$ .

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