[Ableiten] von Logarithmen

21.08.2005, 15:54

Zuckerzecke

[Ableiten] von Logarithmen

Hallo zusammen,

ich habe ein Verständnisproblem mit der Ableitung einer Logarithmusfunktion.

Die Ableitung der Funktion f(x)= ln(x) lautet f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Der hierfür notwendige Beweis will sich mir irgendwie nicht erschließen.

Wenn ich folgendermaßen vorgehe ...

m(x0+h) = $\begin{eqnarray*} \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} \end{eqnarray*}$

und entsprechend einsetze ...

m(x0+h) = $\begin{eqnarray*} \frac{ln(x0+h)-ln(x0)}{h} \end{eqnarray*}$

... dann umschreibe zu

m(x0+h) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} * ln(\frac{x0+h}{x0} \end{eqnarray*}$ )

bringt mich das höchstens noch zu ...

m(x0+h) = ln( $\begin{eqnarray*} (\frac{x0+h}{x0})^\frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ )

... aber viel weiter leider nicht.

Wo hat sich denn da der Denkfehler vergraben oder wie geht es weiter?

(entschuldigt die merkwürdige Schreibweise, aber der Formeleditor bedarf einiger Eingewöhnung) Augenzwinkern

21.08.2005, 16:00

Mathespezialschüler

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Hallo!
Bis jetzt ist noch kein Fehler dabei. Je nachdem, wie der Logarithmus bzw. wie $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ definiert ist, verläuft der Beweis anders. Wenn du weißt, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(1+a\cdot h)^{\frac{1}{h}}=\operatorname{e}^a \end{eqnarray*}$

ist, dann ist es jetzt doch ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \ln' x_0=\lim_{h\to 0}\ln\left[\left(\frac{x_0+h}{x_0}\right)^{\frac{1}{h}}\right]=\lim_{h\to 0}\ln\left[\left(1+\frac{1}{x_0}\cdot h\right)^{\frac{1}{h}}\right] \end{eqnarray*}$ .

Siehst du jetzt, wie du die Gleichung von oben hier benutzen kannst? Augenzwinkern

Gruß MSS

21.08.2005, 17:58

Sephiroth

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Was mit persönlich sehr gut gefällt, um zu zeigen das wenn f(x) = ln(x) gilt,
dass f`(x) = 1/X ist.

allg.:

h(x) = f(f^{-1} (x)) = x

h`(x) = f`(f^{-1} (x)) * f`^{-1} (x) = 1 Produktregel
f`^{-1} (x) = 1 / f`(f^{-1} (x))

hier:

f(x) = e^x und f^{-1}(x) = ln(x)

h(x) = e^(lnx) = x

h`(x) = e^(lnx) * f`^{-1}(x) = x * f`^{-1}(x) = 1

f`^{-1}(x) = 1/x

21.08.2005, 18:30

Mathespezialschüler

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@Sephiroth
1. hast du Kettenregel und nicht Produktregel benutzt und
2. ist dein Beweis so nicht ganz korrekt, aber nun gut.

@Zuckerzecke
Wenn du die obige Eigenschaft nicht kennst, dann muss ich mir was anderes überlegen. Aber dann müsstest du auch nochmal sagen, wie ihr $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ definiert habt.
Oder hat dir das doch schon weitergeholfen?

Gruß MSS

21.08.2005, 19:13

Zuckerzecke

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Zitat:

[i]@Zuckerzecke
Wenn du die obige Eigenschaft nicht kennst, dann muss ich mir was anderes überlegen. Aber dann müsstest du auch nochmal sagen, wie ihr $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ definiert habt.
Oder hat dir das doch schon weitergeholfen?
Gruß MSS

Hi MSS,

ich habe zwischenzeitlich in den Thread geschaut, muss mich nachher aber einmal in Ruhe dransetzen, da mein Sohn die ganze Zeit um mich rumwuselt und beschäftigt werden möchte (bin nicht mehr der Jüngste ^^).

Über die Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ kann ich in diesem Fall leider nichts sagen ... mir ist die Aufgabe in Zusammenhang mit den Beweisen der Ketten- und Produktregel beim Aufräumen in die Hände gefallen. Und für eben diese habe ich den Beweis nie erbringen können.
Ich melde mich heute Abend nochmal, wenn die kleine Kröte im Bett ist.

21.08.2005, 19:21

Mathespezialschüler

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Ok, kein Problem! Wenn das alte Unterlagen sind, dann ist ja vll auch nicht wichtig, wie die Definition war, sondern nur, mal zu sehen, wie das geht. Augenzwinkern

Gruß MSS

22.08.2005, 12:23

Zuckerzecke

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Hallo MSS,

nachdem ich mir deinen Vorschlag gestern (Nacht) nochmal durchgelesen, einen DIN-A4-Zettel bekrickelt und die Nacht darüber geschlafen habe, will mir dennoch nicht in den Kopf wie Du auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(1+a\cdot h)^{\frac{1}{h}}=\operatorname{e}^a \end{eqnarray*}$

gekommen bist.

Die Aufgabenstellung lautet leider nur 'Beweisen Sie, dass ...', ohne nähere Angaben zu $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

Bei der Produkt- und Kettenregel konnte man sinnvoll ergänzen ... in diesem Fall finde ich da einfach nichts. Leider habe ich mich bis jetzt auch kaum mit Logarithmen beschäftigt, was erschwerend hinzu kommt. Augenzwinkern

22.08.2005, 14:56

Mathespezialschüler

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Naja, eigentlich ist das mehr oder weniger eine mögliche Definition von $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt relativ einfach, aber mit etwas Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^a=\lim_{n\to\infty}\left(1+x_n\cdot a\right)^{\frac{1}{x_n}} \end{eqnarray*}$

für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und alle Nullfolgen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_n\cdot a>-1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Und das ist dann gleichbedeutend zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}(1+a\cdot h)^{\frac{1}{h}}=\operatorname{e}^a \end{eqnarray*}$

Wenn du es ganz genau beweisen willst, dann musst du schon deine Definition nennen. Und wenn keine explizit da steht, dann machen wir es vll so: Wie kennst du denn $\begin{eqnarray*} \operatorname{e} \end{eqnarray*}$ ? Von da ausgehend können wir ja dann mal etwas versuchen. Augenzwinkern

Gruß MSS

02.10.2005, 12:16

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Sephiroth
1. hast du Kettenregel und nicht Produktregel benutzt und
2. ist dein Beweis so nicht ganz korrekt, aber nun gut.
Gruß MSS

Was ist denn am Beweis verkehrt?

02.10.2005, 13:19

Mathespezialschüler

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Siehe hier.

Gruß MSS

02.10.2005, 14:22

papahuhn

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Sephiroth ist wohl davon ausgegangen, dass die Differenzierbarkeit von exp() und ln() bekannt ist. Stand nirgendwo, dass man das nicht voraussetzen kann.

02.10.2005, 20:46

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von papahuhn
Stand nirgendwo, dass man das nicht voraussetzen kann.

Na du bist ja lustig. Warum sollte man sie denn einfach so voraussetzen können? Wenn, dann hätte vll da gestanden, dass man die Differenzierbarkeit voraussetzen darf. Aber dass man sie nicht voraussetzen darf, schreibt doch niemand in eine Aufgabenstellung. Wenn man beweisen will, dass der natürliche Logarithmus die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ besitzt, dann muss man natürlich erstmal seine Differenzierbarkeit zeigen. Das ist ja nach Definition so.

Gruß MSS

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