logarithmusfunktion untersuchen

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23.03.2004, 00:47	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
logarithmusfunktion untersuchen Hi ! Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Untersuche die gegebene Funktion: f(x) = ln x - 1/2 x² ; x ist Element der positiven reellen Zahlen. Wie muss man vorgehen?? Danke im Vorraus! - Gruß Stefan
23.03.2004, 00:48	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: logarithmusfunktion untersuchen Ich würde sagen den onkel Doktor nebenan fragen. Was sollst du denn untersuchen???
23.03.2004, 00:51	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte (ggf. Sattelpunkte) usw. ist alles schon so lange her :P
23.03.2004, 01:03	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen f(x)=0 Ich würde sagen du rechnest mal die Ableitungen und schreibst die hier rein dann sehen wir was du noch kannst ...
23.03.2004, 01:06	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
ja.. wenn ich das mal bei logarithmusfunktionen könnte....
23.03.2004, 01:07	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
ln(x) ist abgeleitet $\begin{align} \frac {1} {x} \end{align}$
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23.03.2004, 01:16	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
ja.. dann wäre die 1. ableitung = 1/x - x und nun ?
23.03.2004, 01:29	MatheBlaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wie kommst Du auf deine erste Ableitung? Die hat dir Deakandy doch schon völlig richtig hingeschrieben. Weißt Du denn wie man Extremstellen und Wendestellen bestimmt?
23.03.2004, 01:34	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
nein .. ich trottel hab inner 11 nich aufgepasst
23.03.2004, 01:53	MatheBlaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr ungünstig. Also das gehört in den höheren Klassen zum absoluten Standarwerkzeug. Also für Extremstellen gilt folgende notwendige Bedingung: $\begin{align} f'(x) = 0 \end{align}$ und als hinreichende Bedingung $\begin{align} f''(x) \neq 0 \end{align}$ Dabei kann eine Extremstelle vorliegen, wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist. Wenn ZUSÄTZLICH noch die hinreichende Bedingung passt, dann liegt auf jeden Fall eine solche vor. (hoffentlich habe ich die beiden nicht wieder durcheinandergeworfen ) Die Bedingungen sind auch ganz logisch, da f'(x) ja die Steigung einer Funktion an der Stelle x angibt. An einer Extremstelle muss diese logischerweise 0 sein, also keinerlei Steigung. Für die Wendestellen gelten die gleiche Bedingungen, nur jeweils um eine Ableitung "erhöht", da Du sozusagen die Extremstellen der 1. Ableitung suchst.
23.03.2004, 01:56	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön - so langsam kommt es mir wieder in Erinnerung! Aber wie war das nochmal mit dem Limes???
23.03.2004, 02:02	MatheBlaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war dieser Grenzwall von den Römern... Ich nehme mal an, Du denkst dabei neben dem Grenzwall auch noch an Grenzwertbestimmung? Also das lässt sich meistens am besten mit einem scharfen Blick lösen 8) In deinem Fall würde ich die beiden Summanden getrennt betrachten, und dir überlegen, was für Grenzwerte sie separat annehmen. Der Grenzwert der gesamten Funktion ist dann einfach der Grenzwert des ersten Summanden minus dem selbigen des zweiten.
23.03.2004, 02:04	stefan85	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. naja ich werd mich mal heut mittag an die aufgabe rantasten danke nochmal - stefan
23.03.2004, 13:28	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wir wollen ja keinen dumm sterben lassen Also erst mal die Ableitungen $\begin{align} f(x)=ln(x) - \frac {1} {2}\cdot x^2 \end{align}$ $\begin{align} f'(x)=\frac {1} {x} -x \end{align}$ $\begin{align} f''(x)=-\frac {1} {x^2} -1 \end{align}$ $\begin{align} f'''(x)=\frac {2x} {x^4} \end{align}$ So nun die Extremstellen $\begin{align} f'(x)=0 \end{align}$ $\begin{align} \frac {1} {x}-x=0 \ \ \ \|\cdot x \end{align}$ $\begin{align} x-x^2=0 \end{align}$ $\begin{align} x\cdot (1-x)=0 \end{align}$ Also $\begin{align} x=0 \ \ oder \ \ x=1 \end{align}$ $\begin{align} f''(x)=0 \end{align}$ $\begin{align} f''(0)= n.d. \end{align}$ $\begin{align} f''(1)=-2 <0 \Rightarrow \ \ Maximum \end{align}$ Wendestellen $\begin{align} f''(x)=0 \ \ und \ \ f'''(x)\neq 0 \end{align}$ $\begin{align} f''(x)=0 \end{align}$ $\begin{align} -\frac {1} {x^2}-1=0 \end{align}$ $\begin{align} x^2=-1 \end{align}$ keine Lösung also auch keien Wendestellen.. Mal schauen ob ich jetzt wieder einen Fehler gemacht habe... Bitte um Verbesserung
23.03.2004, 15:59	MatheBlaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Deakandy, bei f'(x) hast Du dich glaube ich vertan, denn $\begin{align} \frac{1}{x}-x \| \cdot x \end{align}$ sollte doch 1-x² ergeben? f'(0) ist ja auch gar nicht definiert, denn dann ergibt sich ja 1/0. Richtig sollten sein: $\begin{align} x^2=1 \Rightarrow x= \pm 1 \end{align}$
23.03.2004, 16:03	Deakandy	Auf diesen Beitrag antworten »
So sieht es aus danke für die Verbesserung Werde es später mal ändern Aber ist ja auch mit deinem Hinweis nicht nötig...kann ja dann so weiter rechnen Also sry

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