Fehlendes Mathematisches Verständnis

13.02.2008, 10:47

Dramex

Fehlendes Mathematisches Verständnis

also ich habe weiterhin den Stoff wiederholt und bin da wieder auf etwas gestoßen.

1) Winkelberechnung von einer Geraden und einer Ebene:

Ich weiß, wie ich auf den Schnittwinkel beider geometrischen Körper komme:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{\vec{Ne} \cdot \vec{RVg}}{ \mid\vec{Ne} \cdot \vec{RVg}\mid} \end{eqnarray*}$

--> skalprodukt des Normalenvektors mit dem Richtungsvektoren der Geraden durch den multiplizierten Betrag des Normalenvektors und des Richtungsvektors der Geraden. Danach noch [2nd] [sinus] und ich habe meinen Schnittwinkel.

Meine Frage lautet aber, wieso ich sinus nehmen muss. Ich weiß, dass, wenn ich cosinus nehme, dass ich dann den Nebenwinkel bestimme, aber wenn man den Schnittwinkel von 2 Geraden oder 2 Ebenen bestimmen will, nimmt man doch auch für den Schnittwinkel cosinus und für den Nebenwinkel sinus. Ich verstehe also nicht, wieso ich bei einer Geraden und einer Ebene den cosinus dafür nehmen muss. traurig

2) Abstand zweier Geraden, welche Kollinear zueinander sind:

Also anhand meiner Formeln weiß ich, wie ich auf das Ergebnis komme, doch ich verstehe nicht, wie man bildlich diesen Weg nehmen kann:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = SVg + t * RVg \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = SVh + t * RVg \end{eqnarray*}$

Als nächstes erstelle ich nun:

$\begin{eqnarray*} \vec{SVhRVg} \end{eqnarray*}$

und danach skalarmultipliziere ich dies mit dem Richtungsvektor der Geraden h. Habe hiebei einen Parameter übrig, setze ich ein und habe mein Lot auf der Geraden g. Dann nur noch Abstand zweier Punkte machen und fertig.

Was ich hier dran nicht verstehe, ist, wie kommt man darauf, diesen Weg zu benutzen?? Ich meine damit, ich kann es mir nicht bildlich vorstellen, wie man auf diese Wege kommt. Beim Rechnen wie gesagt gibt es nie probleme, aber es fehlt mir hier die Vorstellung. traurig

3) Ebene schneidet eine Kugel:

Hierbei habe ich mir die Frage gestellt, ob man einen gemeinsamen Punkt beider geometrischer Körper berechnen kann, welcher am Kugelrand liegt.
Sagen wir mal, wir haben nur die Ebene und die Kugel mit dem Radius und dessen Mittelpunkt gegeben(und logischerweise die Koordinatengleichung der Kugel).
Ist es mit sowas möglich, einen gemeinsamen Punkt zu berechnen, welcher am Kugelrand liegt??
Man berechnet zwar einen Punkt und zwar den Mittelpunkt des Schnittkreises, doch ob es nur mit diesen Werten am Rand geht, würde mich interessieren, weil irgendwie sagt mir etwas, dass man mit den Radien der Kugel und des Schnittkreises villeicht was machen kann. verwirrt

____

MFG Dramex

13.02.2008, 11:01

tigerbine

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RE: Fehlendes Mathematisches Verständnis
3) Ebene schneidet eine Kugel:

Hierbei habe ich mir die Frage gestellt, ob man einen gemeinsamen Punkt beider geometrischer Körper berechnen kann, welcher am Kugelrand liegt.

Sagen wir mal, wir haben nur die Ebene und die Kugel mit dem Radius und dessen Mittelpunkt gegeben(und logischerweise die Koordinatengleichung der Kugel).
Ist es mit sowas möglich, einen gemeinsamen Punkt zu berechnen, welcher am Kugelrand liegt??
Man berechnet zwar einen Punkt und zwar den Mittelpunkt des Schnittkreises, doch ob es nur mit diesen Werten am Rand geht, würde mich interessieren, weil irgendwie sagt mir etwas, dass man mit den Radien der Kugel und des Schnittkreises villeicht was machen kann. verwirrt

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Small_and_great_circles_3d.png/250px-Small_and_great_circles_3d.png

Ohne weitere Angaben ist dieser Punkt i.A. doch gar nicht eindeutig. Erstaunt2

13.02.2008, 11:41

mYthos

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RE: Fehlendes Mathematisches Verständnis
1.)

Zitat:

Original von Dramex
...
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{\vec{Ne} \cdot \vec{RVg}}{ \mid\vec{Ne} \cdot \vec{RVg}\mid} \end{eqnarray*}$
...

Die Formel stimmt nicht ganz, richtig ist sie

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{\vec{Ne} \cdot \vec{RVg}}{ \mid\vec{Ne}\mid \cdot \mid \vec{RVg}\mid} \end{eqnarray*}$

Der Sinus kommt deswegen, weil der gesuchte Schnittwinkel mit dem zu der Normalen komplementär ist (Ergänzung auf 90°) und es gilt

$\begin{eqnarray*} \cos (90 - \varphi) = \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Zu 2.)

Deine Beschreibung ist so diffus, dass ich das dort selbst so nicht verstehe. Wie das richtig gemacht werden kann, siehst du z.B. bei

http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/...dGGparallel.htm

mY+

13.02.2008, 12:45

Dramex

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THX an mYthos und tigerbine. Freude

Nunja, dass mit zweitens meine ich so, dass ich weiß, dass, wenn es heißt, Berechne den Abstand zweier parallelen Geraden, ich weiß, was für Rechenschritte ich machen muss.
Ich verstehe hierbei nur nicht, wie man, anhand einer Skizze, auf diese Rechenschritte kommt.

Ich hoffe, dies ist nun besser zu verstehen, denn ich weiß kaum, wie ich das noch erklären könnte. traurig

____

MFG Dramex

13.02.2008, 12:51

mYthos

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Ich sehe nicht, was du nun besser erklärt hast. Skizze ist auch keine vorhanden. Gefällt dir der angegebene Link nicht?

Oder zeige mal an dem Beispiel vor, wie du das gerechnet hast. Deine bisherigen Ausführungen zu diesem kann und will ich auch nicht näher erraten. Wir können zwar Wunder wirken, aber (noch) nicht 100% hellsehen Big Laugh

mY+

14.02.2008, 10:09

Dramex

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Nunja...nicht wirklich. Ich versuche es mal mit dieser Skizze von dem Link, den du mir angabst, es zu erklären:

http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/abstaende/AbstandGGparallel_images/IMG1109.PNG

Aufgrund dieses Bildes hat der Autor die formeln aufgestellt d.h. er wusste, was zu tun ist, wenn er z.B. die violetten und grünen Linien sieht. Ich hierbei verstehe aber nicht, wie man auf die Idee kommt, solche Formeln aufzustellen d.h. das, was ich in den Formeln sehe, kann ich auf dem Bild nicht nachvollziehen und auch umgekehrt. traurig

Ich glaube, mit "nicht nachvollziehen" wurde endlich die richtige Deutung gefunden. smile

Ansonsten muss ich es aufgeben, weil ich weiß kaum, wie ich noch genauer erklären soll, wo mein Problem liegt.
Deutlicher kann ich es dann leider nicht machen...

____

MFG Dramex

15.02.2008, 00:50

mYthos

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1.
Die Koordinaten des Vektors s folgen aus der Differenz von ap1 und ap2.

2.
$\begin{eqnarray*} \sin \alpha \end{eqnarray*}$ in dem rechtwinkeligen Dreieck c, s durch die Beträge c, s ausgedrückt

3.
Aus dem Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und $\begin{eqnarray*} \cos \alpha \end{eqnarray*}$ wurde nach $\begin{eqnarray*} \cos \alpha \end{eqnarray*}$ umgestellt.

4.
Mittels des trigonometrischen Pythagoras ( $\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ ) wurde ein Zusammenhang zwischen 2.) und 3) hergestellt.

5.
Daraus wurde c (der Betrag) berechnet.

mY+

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