Flächenberechnung mit Hilfe der Integration

15.02.2008, 17:05

karoschatz

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Flächenberechnung mit Hilfe der Integration

Hallo!

Wir haben heute damit begonnen Flächen mit der Integralrechnung zu berechnen.
Gegeben ist ein Rechteck in einem Graphen.

Die Gleichung lautet f(x)= b

Am Ende soll ich auf $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ kommen. Was ja auch normal für die Flächenberechnung eines Dreiecks ist. Nur wie komme ich dahin? Hab gerade überhaupt keinen Schimmer leider unglücklich

unglücklich

Danke im Voraus

15.02.2008, 17:10

vektorraum

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RE: Flächenberechnung mit Hilfe der Integration
Wie soll denn ein Rechteck in einem Graphen gegeben sein? Du meinst ein Rechteck in einem Koordinatensystem?

Du hast dort keine Formel angegeben wenn du schreibst ab...

Das ist auch keineswegs die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks.

Vielleicht stellst du mal die komplette Aufgabe rein - wortwörtlich.

15.02.2008, 17:15

karoschatz

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Koordinatensystem meinte ich, sorry ^^. Also wir haben heute eine Gleichung hergeleitet=

$\begin{eqnarray*} A = \int_a^b f(x)*d(x)= F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

So dann hat uns der Lehrer die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)= b \end{eqnarray*}$ angeschrieben.

Jetzt sollen wir den Flächeninhalt berechnen. Nur ich weiß halt nicht wie ich anfangen soll.

Das Integral soll von 0 bis a gehen

15.02.2008, 17:22

Bjoern1982

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Statt d(x) lieber dx Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(x) dx= F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

Joa dann setze doch mal für f(x) den Funktionsterm ein und bilde eine Stammfunktion.
Hast du sowas schonmal gemacht ? Das geht ganz normal mit der Potenzregel.
Bedenke dass $\begin{eqnarray*} b=b \cdot x^0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Hilft das weiter ?

Gruß Björn

15.02.2008, 17:23

vektorraum

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Bei dieser "Formel" darf auf keinen Fall ein Multiplikationszeichen zwischen dem f(x) und dem dx!!!! Das ist Unsinn!!!

Das gante was dort hergeleitet wurde ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und erlaubt dir, Flächeninhalte auszurechnen.

Deine Funktion ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} f(x)=b \end{eqnarray*}$ , wobei b eine reelle Zahl sein soll. Für b=3 sieht das ganze so aus:

Jetzt sollst du von 0 bis a integrieren. Setze das einfach mal als Integrationsgrenzen ein, die Funktion f(x) ist dann bei dir b. Was wird wohl passieren? Integriere diesen Ausdruck!

15.02.2008, 19:57

Duedi

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Warum nicht mal dx, VR? So, wie dieser Integraltyp definiert ist, bedeutet das, dass man die Summe aller Produkte geeignet gewählter Intervalle ( $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ) mit der zugehörigen Höhe (f(x)) bildet und dann den Grenzwert bildet, sodass $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ zu dx wird. Der Multiplikationspunkt ist also gerechtfertigt, oder irre ich mich?

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16.02.2008, 12:07

karoschatz

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aso okay..

also wenn ich das dann so einsetze:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(b) dx= F(0) - F(a) \end{eqnarray*}$

ist das dann schonmal richtig so?

Wie komm ich dann weiter? Muss ich etwas auf die andere Seite bringen?

Danke im Voraus!

16.02.2008, 12:11

20_Cent

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Rechte Seite ist das Vorzeichen verkehrt, du hast 0 und a vertauscht.

Du musst jetzt F ausrechnen, das nennt man Stammfunktion.
Wenn du F ableitest, muss f rauskommen.
mfG 20

16.02.2008, 12:12

Bjoern1982

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Erst obere Grenze einsetzen, dann die untere Augenzwinkern

Augenzwinkern

----> F(a) - F(0)

Mit auf die andere Seite holen ist hier nichts....weisst du wie man eine Stammfunktion bildet ?

16.02.2008, 12:15

karoschatz

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das müsste doch sein $\begin{eqnarray*} F(x) = b*x + c \end{eqnarray*}$ ?

16.02.2008, 12:16

Bjoern1982

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Freude

16.02.2008, 12:18

karoschatz

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okay gut nun muss ich $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ doch einsetztn?
Also:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(b) dx= b*x(a) - b*x(0) \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

16.02.2008, 12:20

Bjoern1982

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b*a+c - (b*0+c)

16.02.2008, 12:27

karoschatz

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Okay dann bleibt ja nur noch als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(b) dx= b*a + c \end{eqnarray*}$

Das wäre dann auch wohl richtig =)

Vielen Dank für eure Hilfe!

16.02.2008, 12:42

karoschatz

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Hab noch eine Aufgabe:

und zwar habe ich eine Funktion die von oben links nach unten rechts geht.

Vielleicht kann mir diese jemand mal mit einer Grafiik zeichnen, weil ich das hier irgendwie nicht so gut kann..

So wie ihr jetzt unten in der Grafik sehen könnt ist das mein Koordinatensystem. Jetzt musste ich erstmal die Funktion aufstellen. Das wäre doch:

$\begin{eqnarray*} f(x) = - h/g * x + h \end{eqnarray*}$ ?

So dann muss ich ja wieder die selben Schritte wie oben machen..

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- h/g * x + h) dx= -1/2 * h/g * x^2 + h * x (g) - ( -1/2 * h/g * x^2 + h * x ) (0) \end{eqnarray*}$

oder sehe ich das falsch?

16.02.2008, 14:00

karoschatz

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keiner ne Antwort?

16.02.2008, 14:36

Bjoern1982

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Zitat:

Okay dann bleibt ja nur noch als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(b) dx= b*a + c \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt so noch nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- h/g * x + h) dx= -1/2 * h/g * x^2 + h * x (g) - ( -1/2 * h/g * x^2 + h * x ) (0) \end{eqnarray*}$

Deine Schreibweise ist etwas gewöhnungsbedürftig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was erhälst du denn ?

Und das c solltest du auch hier wieder beim Aufstellen einer Stammfunktion benutzen und dann halt F(g) - F(0) ausrechnen.

16.02.2008, 14:43

karoschatz

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Was stimmt denn daran noch nicht? Man rechnet ein Rechteck doch mit $\begin{eqnarray*} a* b \end{eqnarray*}$ aus?

16.02.2008, 14:58

Bjoern1982

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Aber das c fällt doch am Ende weg

16.02.2008, 15:05

karoschatz

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ups ja klar stimmt aber:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(b) dx= a*b \end{eqnarray*}$

ist doch jetzt richtig?

na gut.. also ich weiß nicht ob du bei der zweiten Aufgabe mir weiterhelfen kannst?

16.02.2008, 15:18

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^a f(b) dx= a*b \end{eqnarray*}$

Ja sicher, damit berechnet man ja den Flächeninhalt eines Rechtecks =)

Und bei der 2. Aufgabe musst du eigentlich analog vorgehen.
Deine Funktion f(x) stimmt schonmal Freude

Freude

Jetzt eben von dieser Funktion eine Stammfunktion bilden und dann wieder wie oben erst für alle x dein g einsetzen und dann das Ergebnis minus dem Ergebnis wenn du null für alles x einsetzt.

---> F(g) - F(0)

Was erhälst du damit bzw wozu genau hast du Fragen ?

Björn

21.02.2008, 10:58

karoschatz

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sooo =) also

ich habe ja das aufgestellt :

$\begin{eqnarray*} f(x) = - \frac {h} {g} * x + h \end{eqnarray*}$

die Stammfunktion müsste dann doch lauten:

$\begin{eqnarray*} F(x) = - \frac {1} {2} * \frac {h} {g} * x^2 + h * x \end{eqnarray*}$ ??

so also:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- \frac {h} {g} + h) dx= - \frac {1} {2} * \frac {h} {g} * x^2 + h * x (g) - ( - \frac {1} {2} * \frac {h} {g} * x^2 + h * x ) (0) \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- \frac {h} {g} + h) dx= - \frac {1} {2} * \frac {h} {g} * g^2 + h * g \end{eqnarray*}$

der rechte Teil fällt ja weg..

so nun komm ich nicht so recht weiter..

21.02.2008, 11:00

Bjoern1982

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Ja

smile

21.02.2008, 11:09

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- \frac {h} {g} + h) dx= - \frac {1} {2} * \frac {h} {g} * g^2 + h * g \end{eqnarray*}$

Ich frage mich warum du im Intregal immer dieses komische $\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- \frac {h} {g} + h) dx \end{eqnarray*}$ schreibst

Das muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g - \frac {h} {g} \cdot x + h dx \end{eqnarray*}$

Am Schluss musst du eigentlich nur noch kürzen und zusammenfassen.
Was genau ist dir unklar ?

Gruß Björn

21.02.2008, 15:09

karoschatz

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ohh achso schreibt man das ^^ entschuldigung..

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g - \frac {h} {g} \cdot x + h dx \end{eqnarray*}$

naja gut..also wenn ich das zusammenfasse kommt da doch raus :

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^g f(- \frac {h} {g} + h) dx= - \frac {1} {2} * \frac {h} {g^2} + h * g \end{eqnarray*}$

oder kann ich das noch weiter verkürzen?

21.02.2008, 15:16

Bjoern1982

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Da hast du dich aber gründlich "verkürzt" Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2008, 15:19

karoschatz

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mhh, kannst du mir auf die Sprünge helfen?

21.02.2008, 15:24

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} - \frac {1} {2} * \frac {h} {g} * g^2 + h * g \end{eqnarray*}$

Ich kann halt nur soviel sagen dass du g² und g kürzen musst und du dir dann überlegen musst was übrig bleibt.

21.02.2008, 15:25

karoschatz

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$\begin{eqnarray*} - \frac {1} {2} * h * g + h * g \end{eqnarray*}$

so korrekt?

21.02.2008, 15:29

Bjoern1982

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Ja, und das kann man jetzt noch zusammenfassen.

21.02.2008, 15:32

karoschatz

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$\begin{eqnarray*} - \frac {1} {2} * 2h * 2g \end{eqnarray*}$ ?

21.02.2008, 15:33

Bjoern1982

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Nicht raten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du es nicht direkt siehst klammere h*g aus

21.02.2008, 15:39

karoschatz

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so: ?

$\begin{eqnarray*} (- \frac {1} {2} + 1) h * g \end{eqnarray*}$ ?

Aber das bringt mich doch auch nicht weiter..

21.02.2008, 15:40

Bjoern1982

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Na sicher bringt dich das weiter.
Das in der Klammer wirst du doch nun ausrechnen können - und bitte an Punkt vor Strichrechnung denken.

21.02.2008, 15:45

karoschatz

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ohhh Brett vorm Kopf :

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} * h * g \end{eqnarray*}$

besten Dank für deine Hilfe =) smile

smile

Freude

21.02.2008, 15:47

Bjoern1982

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Kein Problem - viel Erfolg weiterhin Wink

Wink

21.02.2008, 16:04

karoschatz

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mhh sorry wenn ich nerve Big Laugh

Big Laugh

aber ich bräuchte noch einmal Hilfe bzw Gewissheit ob das richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f(x) = sin * x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac {1} {2} * sin * x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^p sin * x d(x)= \frac {1} {2} * sin * x^2 (pi) - \frac {1} {2} * sin * x^2 (0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^p sin * x d(x)= \frac {1} {2} * sin * pi^2 \end{eqnarray*}$

Bis dahin richtig? Bin ich fertig oder kann ich noch weitermachen?

Sorry wenn ich nerve xD Gott

Gott

p.s: das oben auf dem integralzeichnen soll pi sein

21.02.2008, 16:11

Bjoern1982

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Leider nicht richtig.

Zwischen dem Sinus und dem x steht kein Malzeichen.

Es heißt f(x)=sin(x) und eine Stammfunktion davon ist F(x)=-cos(x)

21.02.2008, 16:14

karoschatz

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ups wie dumm von mir Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^p sin (x) d(x)= - \frac {1} {2} * cos * pi^2 \end{eqnarray*}$

wie schauts jetzt aus?

21.02.2008, 16:20

Bjoern1982

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Bei trigonometrischen Funktionen wie der Sinusfunktion kann man nicht die Integrationsregel von oben anwenden. Man muss sich einfach merken, dass die Ableitung von f(x)=sin(x) dann f '(x)=cos(x) ist und eine Stammfunktion F(x)=-cos(x)

Jetzt eben wie immer F(pi)-F(0) berechnen, wobei du dir dann mal die Kosinuskurve anschauen solltest um zu wissen was da rauskommt.

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