konvergenz einer folge

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27.08.2005, 00:48	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz einer folge ich soll die folge $\begin{eqnarray} a_n: \frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ auf konvergenz untersuchen . mit dem quotientenkriterium will ich das machen. kann mir jemand sagen ob das so richtig ist (noch nie gemacht). $\begin{eqnarray} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid =\frac{(n+1)2^n}{2^{n+1}n} =\frac{n+1}{2n}= \frac{1+\frac{1}{n} }{2} =\frac{1}{2}+ \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ und was muss ich dann machen?
27.08.2005, 00:54	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Quotientenkriterium hast Du jetzt das Verhältnis zweier Folgenglieder. Wie sieht das im Unendlichen aus?
27.08.2005, 11:16	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe nicht ganz was du mir damit sagen willst.
27.08.2005, 11:44	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
ganz einfach.Du kannst schon ein festes q<1 finden,dass eine Abschätzung für deinen letzten Ausdruck liefert.Dazu reicht es wenn du mal ein paar Werte berechnest.Du wirst sehen,dass die werte ab einem Index immer <q bleiben.Probiere es mal
27.08.2005, 12:18	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
aber was ist denn wenn ich n=1 setze?
27.08.2005, 12:31	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Für n=1 klappt das nicht, da hast du schon Recht. Aber wie n! schon richtig sagt, genügt es ja, wenn der Quotient ab einem bestimmten Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ unter q bleibt. Für die Konvergenz sind ja "nur die hinteren" Indizes interessant, da kann die Folge "am Anfang" ruhig ein paar Sprünge machen. Gruß vom Ben
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27.08.2005, 12:50	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also kann ich sagen $\begin{eqnarray} \leq \frac{2}{3} <1 \end{eqnarray}$ also konvergent.
27.08.2005, 12:57	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,der Wert stimmt.Man hätte es auch früher mit $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ abschätzen können,aber etwas später wie du es gemacht hast geht es auch. Da Mathematik auch eine Sprache ist,muss man aber auch korrekt formulieren.So wie es da steht ist es noch nicht ganz korrekt.Du musst nämlich noch hinzufügen ab welchem Wert für n beginnt es $\begin{eqnarray} \leq \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ zu werden.
27.08.2005, 13:05	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ab n=6. vielen dank für die hilfe!
27.08.2005, 14:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sollten erstmal klären, worum es geht, bevor hier über die Lösung gesprochen wird! Geht es um die Folge $\begin{eqnarray} a_n=\frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ oder um die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ ?? Das Quotientenkriterium ist ein Kriterium für die Konvergenz einer Reihe, das hätte also mit der Folge nichts zu tun! Gruß MSS
27.08.2005, 15:06	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich mich auch schon gefragt, MSP, jedoch kann man doch das Kriterium gleichermaßen für Folgen benutzen, hab ich mir überlegt. Wenn der Quotient für große n unter 1 bleibt, dann muss die Folge eine Nullfolge sein.
27.08.2005, 15:51	timbo	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man das denn so machen? wie issen das dann mit anderen konvergenzkriterien?
27.08.2005, 17:11	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin verwirrt. geht das so nicht wie ich das gemacht habe? wie kann ich denn sonst die konvergenz der folge $\begin{eqnarray} a_n=\frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ nachweisen?
27.08.2005, 17:19	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn das wirklich nur eine Folge und keine Reihe ist,dann würde ich lieber zeigen,dass diese Folge monoton fallend und beschränkt ist.Damit hättest du die Konvergenz gezeigt.
27.08.2005, 18:38	lillchen	Auf diesen Beitrag antworten »
monoton fallend zeig ich doch mit $\begin{eqnarray} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ , oder? habl das dann so umstellt $\begin{eqnarray} 0\leq a_{n+1}-a_n \end{eqnarray}$ . also $\begin{eqnarray} 0\leq\frac{n+1}{2^{n+1}}-\frac {n}{2^n} \end{eqnarray}$ wie mach ich dann weiter?
27.08.2005, 19:04	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
nein,es muss gelten: $\begin{eqnarray} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray}$ Das heißt: $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2^{n+1}} \leq \frac{n}{2^n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{2^n}{22^n} \leq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ naja und jetzt sieht man das doch oder? Und das die Folge beschränkt ist,sieht man auch sofort.

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