Steckbrief Aufgabe (Jgst 12) Part 2

27.08.2005, 11:14

Blue2010

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Steckbrief Aufgabe (Jgst 12) Part 2

So hier bin ich wieder und sitzte grade an der nächsten Steckbriefaufgabe die lautet:

Bestimme eine ganzrationale Funktion fünften Grades, deren Graph zu O(0/0) punktsymmetrisch ist, durch P (1/-2) verläuft und E ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}/-\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ ) als relativen Extrempunkt hat. Untersuche den Graphen der Funktion.

Hab ich so begonnen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ax^{5} + cx^{3} + ex + f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 5ax^{4} + 3cx^{2} + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= 20ax^{3} + 6cx \end{eqnarray*}$

I. f (0) = 0 ---> f = 0
II f (1) = -2 ----> a + c + e = -2
III f (1) = 2 ----> a + c + e = 2 (wegen Symmetrie?? Fehler???)
IV f'( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ ---> 20a + 6c + e= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{8} \end{eqnarray*}$

ich komm dann wieder nicht mit dem Additionsverfahren klar, oder ich hab hier schon nen Fehler

27.08.2005, 11:23

Frooke

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RE: Steckbrief Aufgabe (Jgst 12) Part 2
Den ersten Fehler hast Du schon hier:

Zitat:

Original von Blue2010

Hab ich so begonnen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ax^{5} + cx^{3} + ex + f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)= 5ax^{4} + 3cx^{2} + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)= 20ax^{3} + 6x \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung stimmt nicht. Da hast Du ein c vergessen.

Und Du meinst wohl den Punkt

$\begin{eqnarray*} E\left.\left(\sqrt{2}\right|-\sqrt{8}\right) \end{eqnarray*}$

27.08.2005, 13:07

mercany

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RE: Steckbrief Aufgabe (Jgst 12) Part 2

Zitat:

Original von Blue2010
III f (1) = 2 ----> a + c + e = 2 (wegen Symmetrie?? Fehler???)

Bedenke das für Punktsymmetrie gilt: $\begin{eqnarray*} f(-x) \, = \, -f(x) \end{eqnarray*}$

Schau dir nochmal deinen x-Wert an!

Gruß, mercany

27.08.2005, 15:23

Lazarus

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noch ein tipp:
der fixpunkt bei einer punktspiegelung ist auf dem graphen immer ein wendepunkt.

(bei einer achsenspiegelung ist der fixpunkt ein extremum .. nur so nebenbei)

ich würde es damit mal versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2005, 15:33

Frooke

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Meinst Du nicht eher Spiegelpunkt? Denn ein Fixpunkt ist eigentlich etwas anderes - (obwohl ich zugeben muss, dass Fixpunkt ein etwas schwammiger Begriff ist, denn bei uns in der Schule wurde er auch dazu (miss-)(ge-)braucht, um bei Funktionenscharen parameterunabhängige Punkte zu bezeichnen).

Ist sicher klar was Du meinst, Lazarus, ich wollte aber trotzdem darauf hinweisen, dass dieser Begriff mit Vorsicht zu geniessen ist...

27.08.2005, 15:38

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Lazarus
der fixpunkt bei einer punktspiegelung ist auf dem graphen immer ein wendepunkt.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$

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27.08.2005, 15:41

Frooke

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@sqrt(2): Du hast recht. denn ƒ(x)=0 ist auch achsensymmetrisch und hat kein (oder nur) Extremum (Extrema)...

Aber Lazarus könnte sagen, dass im Spiegelpunkt jeweils f''(x)=0 gilt... (auch für f(x)=x) Big Laugh

Big Laugh

27.08.2005, 15:42

Blue2010

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also hab die Fehler editiert.

Also ist die 3. bedigung: f (-1) = 2

aber ich komme beim Additionsverfahren nicht weiter, ich raff das noch immer nicht.. also bei 2 gleichungen schon, aber bei 3 blockiert alles.. ich komm nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \mid a + c + e = -2 \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid -a - c - e = 2 \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid 20a+6c+ e =-\sqrt{8} \mid \end{eqnarray*}$

----------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \mid a + c + e = -2 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid 20a + c + e = -\sqrt{8} \mid \end{eqnarray*}$

?und nu? traurig

traurig

verwirrt

Hilfe

edit: ich hab noch nie was von Spiegelpunkten oder so gehört

LaTeX verbessert (Frooke)

27.08.2005, 15:49

Frooke

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Was hast Du da genau gemacht?

Du hast doch nun 3 Gleichungen und 3 Unbekannte. Jetzt ist es nicht mehr schwierig - höchstens mühsam! Du musst das Additionsverfahren 2 mal auf die 3 Gleichungen loslassen. Dann hast Du 2 Gleichungen und 2 Unbekannte. Dann wiederholst Du das Verfahren und bist fertig!

27.08.2005, 15:53

Blue2010

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ja aber wie? Ich hatte dabei schon immer ziemliche Probleme, vielleicht mach ich immer einen und den gleichen Fehler oder gehe das falsch an. Könnte vielleicht noch mal jmd erklären, worauf es ankommt

27.08.2005, 16:06

Lazarus

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@frooke:
$\begin{eqnarray*} \text{In der Mathematik wird}~ x_0 \text{ als Fixpunkt einer Funktion}~ f:M \rightarrow M \text { bezeichnet, wenn gilt }~ f(x_0)=x_0 \end{eqnarray*}$

ist das schwammig ?

und @ sqrt : grrrr !!! böse

böse

Buschmann

böse

mir ist klar das das ziemlich schwammig formuliert war.
deshalb nun die mathematisch korrekte version:

$\begin{eqnarray*} \text {Es sei eine Funktion } f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \text { gegeben, die in der Umgebung von } x_0 \text {mindestens dreimal differenzierbar sei.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Darüberhinaus solle die Funktion die Eigenschaft der Punktsymetrie bezüglich des Punktes }P ( x_0 | f(x_0)) \text { aufweisen.} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Aus diesen Eigenschaften folgt nun das der Punkt }P ( x_0 | f(x_0) ) \text{ ein Wendepunkt der Funktion ist.} \end{eqnarray*}$

so nun ist es auch noch korrekt ausgedrückt ... aber alleine aus die notwendige bedingungen für einen wendepunkt lässt sich sagen das eine aussage über die existenz eben dieser nur dann sinnvoll ist wenn diese auch existieren könnten !

so langer rede kurzer sinn: eigentlich isses off-topic und jeder denk ich mal weiss was ich gemeint hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

27.08.2005, 16:07

Frooke

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Also mach es so:

$\begin{eqnarray*} & \mathrm{I}: a + c + e & = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} & \mathrm{II}: -a - c - e & = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} & \mathrm{III}: 20a+6c+ e & = -\sqrt{8} \end{eqnarray*}$

Rechne mal I+II=...=IV
Dann rechnest Du III+II=...=V

Dann hast Du ein neues Gleichungssystem:

IV: ....... = ....
V: ....... = ....

und dann sehen wir weiter!

27.08.2005, 16:07

Blue2010

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@lazarus

verwirrt

was hat denn das jetzt mit meinem Problem zu tun?

ja wie? also muss ich jetzt

| a+c+e =-2 |
|-a-c-e = 2 | +

? Dann hebt sich das doch auf oder? weil a-a und c-c und e-e = 0 ist und -2+2 auch 0 ist

und dann das III mit dem II?

also da es ja nur noch 2 sind:

|a+c+e = -2 | +
|20a+6c+e= - W8 |

aber das geht doch mit der Wurzel 8 dann nicht traurig

traurig

Ausserdem wurde das mir so erklärt "Das ist wie beim Subtrahieren untereinander" aber ich weiß jetzt gar nicht wann was subtrahiert wird und wann nicht und warum heißt es dann Additionsverfahren? Für mich fehlt da irgentwie die logik

27.08.2005, 16:16

Frooke

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@Lazarus: Das sollte kein Angriff gegen Dich sein: Nur ein Hinweis Gott

Gott

@Blue: Ja sorry, I+II bringt nix!

@Mike
Du hattest den Beitrag hier doppelt gepostet, ich hab mir erlaubt einen mal zu löschen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Jan)

27.08.2005, 16:17

Lazarus

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@ threadsteller: dein hauptproblem ist das du eine symetriebedingung dir zu nutze gemacht hast die nicht wirklich eine neue bedingung ist!!!

du hast $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ angesetzt .. soweit absolut korrekt!
doch dir sollte bewusst sein das dir das keine neue bedingung bringt, denn wie du siehst ist $\begin{eqnarray*} f(1)=a+c+e=-2 \end{eqnarray*}$ identisch zu $\begin{eqnarray*} f(-1) = -a-c-e=2 \end{eqnarray*}$ !!
nur mit -1 multipliziert!

des wäre das gleiche wie wenn du aus einer bedingung versuchst eine neue zu gewinnen indem du auf beiden seiten 5 addierst!

DAS ist dein fehler.

ich hab dir oben den tipp gegeben wie du das beheben kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

du brauchst eine bedingung mehr die ich dir geliefert hab, ansonsten ist dein gleichungssystem unterbestimmt (2 gleichungen, 3 variablen) und du bekommst ne kurvenschar .. nich so toll oder ?

servus

27.08.2005, 16:42

Blue2010

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@lazarus
achso, ja eben, das würde mir nichts bringen, nur bei der achsensymmertrie würde es mir einen neue bedingung geben. Das heißt du hast mir den Tipp mit einem Wendepunkt gegeben.. wobei mir erst jetzt klar wird, dass der Fixpunkt ja der Wendepunkt sein muss, weil es ja ein punktsymmetrischer graph ist
also wär die IV Bedigung:

f''(1) = 0 ?

(nehmen wir mal an das stimmt, dann hab ich das Gleichungssystem so aufgestellt) :

|a + c + e = -2 |
|20a+6c+e=-W8 |
|20a+6c = 0 |

so und nun?

27.08.2005, 17:15

Lazarus

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also die bedingung mit f''(1)=0 stimmt ..aber die deine zweite nicht.

es ist der punkt E gegeben mit: $\begin{eqnarray*} E ( \sqrt {2} |- \sqrt{8}) \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} f( \sqrt{2})= - \sqrt{8} \end{eqnarray*}$
und das ist ein extremum. d.h. $\begin{eqnarray*} f'( \sqrt{2})=0 \end{eqnarray*}$

eine von den beiden bedingungen musst du dir rauszupfen und dann verwenden, was du allerdings gemacht hast ist ein mischmasch daraus zu machen.
du hast zwar die funktionsgleichung von der ersten ableitung genommen aber dann den y-wert der funktion benutzt ..

servus

//edit:
hab etz nen gleichungssystem mal gemacht:
$\begin{eqnarray*} I)f(1)=2~ = ~a+c+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II)f( \sqrt{2}) = - \sqrt {8} = a \cdot 2^{ \frac {5}{2}} + c \cdot 2^{\frac {3}{2}} + e \cdot \sqrt {2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III)f''(1) = 0 = 20 a + 6c \end{eqnarray*}$
des sieht aber sehr be..scheiden aus ...

wer gibt einem denn solche aufgaben !?!?
warum keine glatten zahlen ? traurig

traurig

servus

27.08.2005, 17:45

Blue2010

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ja stimmt, aber dann hätte ich ja 4 Gleichungen, damit hab ich noch nie gerechnet. Darum hab ich jetzt einfach mal die Bedingung f'(W2)=0 genommen, weil mit Wurzel 8 nie irgentwas vernünftiges rauskommen würde.
So ich hab dann jetzt mal folgendes gerechnet:

a + c + e = -2
20a+6c+e = 0 - (mit der unteren)
20a+6c = 0
-----------------------------------

daraus folgt e = 0 (?)

----------------------------------

a + c = -2
20a+6= 0 (dann "mal -6", mit der oberen)

---------------------------------

-6a - 6c = 12
20a+6c = 0 (dann + mit der oberen)

----------------------------------

14a = 12 daraus folgt : a = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$
20a+6c=0

-----------------------------------
$\begin{eqnarray*} 20 \cdot \frac {6}{7} \end{eqnarray*}$ + 6c = 0

daraus folgt c = $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{720} \end{eqnarray*}$

da ist aber 100% irgentwo was falsch gelaufen, oder? traurig

traurig

Hilfe

27.08.2005, 19:16

Lazarus

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so da ich etz grad zeit hatte hab ich mich mal hingesetzt und hab des ausgerechnet!

also ich hab die gleichungen in ne matrix eingesetzt um des gauß-jordan-eliminationsverfahren an den mann bringen zu können Augenzwinkern

Augenzwinkern

und dann bekommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &|& 2 \\ 20 & 6 & 0&|&0 \\ 4 \sqrt{2} & 2\sqrt{2}& \sqrt{2} &|& -2\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
so und nun mal mein lösungsweg:
die letzte mit $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ durch multipliziert und dann einfach der reihe nach in die richtige form gebracht durch geschicktes multiplizieren und addieren bis dann irgendwann dortstand:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|&12 \\ 0 & 1 & 0 &|&-40 \\ 0 & 0 & 1 &|&30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
so damit ist a= 12 c = -40 e = 30 ...

du solltest deine angst vor wurzeln ablegen denn wie du siehst ist es ja kein problem die wegzubekommen!
(wurzel 8 ist nichts anderes als 2* wurzel 2)

dein fehler liegt wahrscheinich beim ansatz, da du die andere genommen hast müsste ich alles nochmal nachrecnen um den fehler zu finden !
aber ich vermute ihn gleich in der ersten zeile beim ansatz. des sieht sehr ungut aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

27.08.2005, 19:32

Blue2010

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oh.. mein.. gott... okay davon versteh ich absolut gar nichts, wirklich nichts, nicht mal ansatzweise unglücklich

unglücklich

Ja ich weiß ich kann das Additionsverfahren nicht, ich kann es einfach nicht traurig

traurig

27.08.2005, 19:47

Lazarus

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mhhh...tschuldigung wusste nicht was ich vorraussetzten kann...

falls die matrix dich so abschreckt, das ist sozusagen nur eine andere schreibweise !
du könntest es auch genauso gut in einem gleichungssystem hinschreiben mit

$\begin{eqnarray*} I)f(1)=2~ = ~a+c+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II)f( \sqrt{2}) = - \sqrt {8} = a \cdot \sqrt{2}^5 + c \cdot \sqrt{2}^3 + e \cdot \sqrt{2} = -4\sqrt{2} = 4\cdot a \cdot \sqrt {2} + 2 \cdot c \cdot \sqrt {2} + e\cdot \sqrt {2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III)f''(1) = 0 = 20 a + 6c \end{eqnarray*}$

ich persönlich finde so ne matrix allerdings übersichtlicher, daher hab ich das für mich so gerechnet.hab besonders bei II des ganz ausführlich hingeschrieben etz mit der umformung, so das offentsichtlich ist wie man des wegbekommen kann.

zum additionsverfahren:
ein guter ratschlag: schau dir dein gleichungssystem erstmal genau an, wo sich was günstiges ergeben könnte,dann mach dir ein konzept und fang dann erst des rechnen an!
es ist wichtig das du genau weisst wo du hinwillst und das dann auch der reihe nach durchziehst!

des mal grundlegend.
weiterführend ist zu sagen das du dir mal die boardsuche zu dem thema reinziehen solltest oder evtl. mal bei wikipedia vorbeischauen könntest!

wenn du irgendwelche systematischen fragen hast, nachdem du dass alles durchgelesen hast, kannst du sie gerne hier stellen, das können wir sicher alles klären.

aber nochwas: lass dir zeit dabei und versuch es in ruhe zu verstehen und bitte bitte bitte resignier nicht von anfang an und sag du kannst es einfach nicht. wer nicht kämpft hat schon verloren, wer kämpft wird nicht verlieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

27.08.2005, 20:03

Blue2010

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Ok, also hab mir das mal auf der einen Seite durchgelesen, und verstehe es da ja irgentwie auch, nur wenn ich das jetzt hier sehe mit den Wurzelzeichen, da dreh ich durch, ich würd in der klausur doch niemals drauf kommen aus der -Wurzel8 ne -4malWurzel2 zu machen =( Ich find die Aufgabe war aber auch ziemlich anspruchsvoll, zumindest für meine Verhältnisse

27.08.2005, 23:58

mercany

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@Blue
Sowas wie mit der Wurzel ist einfach nur Übungssache! Irgendwann bekommst du durch Üben schon einen gewissen Blick dafür. smile

smile

28.08.2005, 11:43

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

das prinzip des teilweisen radizierens sollte man eigentlich immer machen, genauso wie brüche immer gekürzt werden sollten soweit möglich.
und ich kann mich nur mercany anschliessen: alles übungssache !

servus

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