Betrag einer komplexen Zahl

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c0rt3z Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag einer komplexen Zahl
Hallo Leute...

ich schreibe derzeit meine Facharbeit über Komplexe Zahlen und hänge jetzt gerade beim Betrag einer komplexen Zahl...
Die Formel ist mir klar :





Logisch erscheint mir das auch in der gaußschen Zahlenebene, wo man das mit dem Pythagoras erschließen kann... Aber wie kann ich es rechnerisch beweisen, bzw erklären? Habe beim recherchieren nichts so wirklich gefunden und wenn ja war es für eine 12er Facharbeit einfach zu kompliziert...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst "rechnerisch" beweisen, dass durch diesen betrag eine Metrik bzw. eine Norm auf definiert wird.

dass der betrag auch ein anschaulichen Sinn hat, entnimmt man eben der komplexen Zahlenebene, wie du schon gesagt hast.
storm0704 Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnerisch wirst du es wohl nicht schaffen, ohne wenigstens einen Rückschluss auf Phytagoras zu schließen.
Du kannst sagen, dass der Betrag von z gleich dem Abstand von z zum Ursprung ist, und sich dieser durch berechnen lässt. Aber das führt ja wiederrum auch auf Phytagoras zurück.
c0rt3z Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön... wenn man es sich weiter überlegt erscheints auch ganz logisch, schließlich ist das bei der Zahlengerade genau das selbe und bis auf die zweite Achse ist das Darstellungsprinzip ja das Selbe...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den Betrag einer komplexen Zahl auch so definieren, das heisst du sagst einfach

ist der Betrag von . Dann musst du noch die Folgenden drei Dinge zeigen damit das auch tatsächlich ein Betrag ist:

1)
Man hat und falls man hat, dann war dieses schon selbst die Null.

2)
Wenn du eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl multiplizierst, dann ändert sich auch der Betrag der Zahl um , das heisst:


3)
Du musst die sogenannte Dreiecksungleichung zeigen: Wenn , und komplexe Zahlen sind, dann gilt immer

("Der Umweg über ist mindestens so lang wie der direkte Weg von nach ")
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

@system-agent: du vermischt hier aber gerade die bedinungen für einen normierten raum (1 und 2) mit denen eines metrischen raumes (3).

am besten zeigt man einfach die axiome für den normierten raum, denn eine norm induziert immer auch eine metrik.

und übrigens hätte c0rt3z auch alles selbst nachlesen können, wenn er meinen links gefolgt wäre unglücklich
 
 
c0rt3z Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
und übrigens hätte c0rt3z auch alles selbst nachlesen können, wenn er meinen links gefolgt wäre unglücklich


Vielen Dank, das bin ich auch, aber eine solch komplizierte Herleitung würde den Rahmen meiner Facharbeit sprengen... Ich hab mich auf die graphische Herleitung des Betrags beschränkt.
Habe schon 8 Seiten und muss auf höchstens 4 Stück noch einige Anwendungsmöglichkeiten darstellen, daher brauch ich den Platz noch ^^
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo
Wieso vermischt?
Diese Bedingungen stehen auch bei Wikipedia Augenzwinkern

Und entschuldigung, ich habe übersehen dass du die Links geschrieben hast Forum Kloppe
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