Potenzreihe mit Integration

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Timi Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe mit Integration
Hallo!

Ich habe da mal folgendes Problem mit dieser Aufgabe .

Die Aufagebenstellung sagt, dass ich die Integranten bzw. Teile der Integranten durch die ersten drei Glieder einer Potenzreihe ersetzen soll? verwirrt

Eigentlich gehts schon mit dem cos x+1 los. Gehört die 1 noch zum cos, also cos (x+1) oder nicht, cos (x) +1 verwirrt

Was muss ich dann machen? Muss ich jetzt Zähler und Nenner einzeln in eine Reihe entwickeln, um diese dann integrieren zu können, oder wie muss ich das hier machen? Klar ist, das ich einen Reihe benötige, die ich integrieren kann.

Also bei einer ganz normalen Funktion würde ich jetzt die gesamte Funktion eben dreimal ableiten und dann in einen Reihe entwickeln. Keine Ahnung ob ich das jetzt hier genauso machen muss. Dieser cos verwirrt mich dann noch zusätzlich.

Vielen Dank für eure Hilfe
Timi
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Summen als Argument ist relativ ungeschickt, keine Klammern zu setzen, daher gehe ich davon aus, dass es sich hier um den Ausdruck handelt. Andernfalls wäre das Integral auch nur Cauchy-integrierbar und außerdem sind von "befreite" Argumente der Winkelfunktionen ungewöhnlich.

Was die Potenzreihe angeht: Ersetze durch , also die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0, das ist relativ genau.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Also den cos kann ich jetzt einfach durch diese Reihe ersetzen. Was mache ich jetzt mit dem Nenner? Drei mal differenzieren und dann als Reihe entwickeln? Wenn ja, dann habe ich ja im Nenner und Zähler theoretisch 2 Reihen stehen.
Muss ich diese dann ganz normal integrieren?

Danke
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Also den cos kann ich jetzt einfach durch diese Reihe ersetzen. Was mache ich jetzt mit dem Nenner? Drei mal differenzieren und dann als Reihe entwickeln? Wenn ja, dann habe ich ja im Nenner und Zähler theoretisch 2 Reihen stehen.
Muss ich diese dann ganz normal integrieren?

Danke
Timi
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timi
Also den cos kann ich jetzt einfach durch diese Reihe ersetzen.

Ja, auch wenn ich mich da im Begriff vertan habe: Es ist selbstverständlich keine Reihe, sondern nur die ersten drei Glieder derselben, also ein Taylorpolynom.

Zitat:
Original von Timi
Was mache ich jetzt mit dem Nenner? Drei mal differenzieren und dann als Reihe entwickeln? Wenn ja, dann habe ich ja im Nenner und Zähler theoretisch 2 Reihen stehen.

Wie, was? Du hast da doch nur noch



stehen. Jetzt mit Hilfe des Arcustangens integrieren.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm... mit dem Arcustangens integrieren? verwirrt

Ich habe dazu ein paar Grundintegrale in meiner Zahlentafel und zwar für so einen Fall. Hier mal die Grundformel.

Meinst du das so in etwa? Aber in meiner Formel ist ja jetzt noch ein x² im Nenner drin. Wo sollte ich damit dann hin?

Sollte man das nicht besser über eine Partialbruchzerlegung integriegen?

gruss
Timi
 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du ja mal mit PBZ versuchen. poste dann mal,was du hier herausbekommst, würde mcih interessieren.

Ich würde aber vorschlagen, dass die Bruchterme im Nenner noch auf einen Hauptnenner bringst und dann noch ein wenig vereinfachst.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler liegt meiner Meinung nach shcon in der verwendeten Reihe. Er soll die ersten 3 Glieder der Reihenentwicklung verwenden das heisst für mich er soll

verwenden.
Das wäre zumindest die Entwicklung. Das eins der Glieder Null ist ist schliesslich nicht seine Schuld.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Du hast da doch nur noch



stehen. Jetzt mit Hilfe des Arcustangens integrieren.

Die Aufgabenstellung lautet aber anders: Nicht , sondern der gesamte Integrand soll in eine Potenzreihe entwickelt werden! Also ist hier noch etwas Polynomdivision angesagt.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Aufagebenstellung sagt, dass ich die Integranten bzw. Teile der Integranten durch die ersten drei Glieder einer Potenzreihe ersetzen soll

Ich bezieh mich mal auf die Aufgabe. Da steht den Integrant bzw Teile davon. Ich denke also das es ausser dieser Integration noch weitere gibt bei denen man möglicherweise auch alles ersetzen muss. Insbesondere seh ich hier nicht das explizit der gesamte Integrant entwickelt werden muss.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mag wohl sein. Aber hinsichtlich Einfachheit der Integration - und vor allem aber auch Erweiterbarkeit für noch mehr Glieder - erscheint mir die Betrachtung "gesamter Integrand" wesentlich vernünftiger.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Also das ist schon richtig so, wie ihr mir das gesagt habt. Ich komme auf das Ergebnis, was auch in der Lösung steht.

Integration hat der Taschenrechenr mal schnell gemacht. Möchte es aber auch nochma von Hand machen. Nach ein wenig vereinfachen habe ich dann folgende Ausgangsgleichung ...



...und da bleibt mir ja eigentlich nur PBZ übrig, ausser ihr habt noch einen einfachereren Vorschlag.

gruss
Timi
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme mal an das in deiner Lösung ein numerischer Wert in der Nähe von
0.285 steht. Den erhält man sowohl wen man die ursprüngliche Funktion integriert.
Wenn man den Ansatz von Arthur weiterverfolgt und den gesamten Integranten bis zur Ordnung 3 entwickelt kommt man auf 0.25.
Mein Vorschlag führt zu 0.288.
Der von sqrt(2) zu 0.285

Das sind alles mehr oder weniger gute Näherungswerte das jetzt der ein oder andere im Sinne der Aufgabe richtiger oder weniger richtig ist möcht ich nicht unbedingt entscheiden müssen allerdings ist sqrt(2) Entwicklung nicht bis zum 3. Glied sondern bis zum 5.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den 0.285 stimmt soweit. Aber mit der Integration hängts jetzt. PBZ geht irgendwie nicht, das sich das Nennerpolynom nicht lösen läst. verwirrt

Wie kann ich das am besten integrieren?

Danke
Timi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Egal
Wenn man den Ansatz von Arthur weiterverfolgt und den gesamten Integranden bis zur Ordnung 3 entwickelt kommt man auf 0.25.

Das ist aber ausschließlich Ordnung 3. Inklusive dieser Ordnung ergibt sich



und damit dann der approximierte Integralwert .
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, das lässt sich dann ganz einfach integrieren. Aber du müsstest mir bitte noch sagen, wie ich den ganzen Term in eine Reihe bringe?

Also den cos kann ich ja durch die oben genannte Reihe ersetzen, aber wie mache ich das dann weiter? Du sagtest, das auch noch ein wenig Poldiv. gemacht werden muss.

Bitte erklär mich das mal.

Danke
Timi
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir das Prinzip der Reihenentwicklung mit Taylor nicht geläufig ist nutzt dir das nichts ansonsten geht es damit.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Polynomdivision funktioniert, weißt du, ja?

Hier gehst du im Prinzip genauso vor, nur dass du mit der niedrigsten Potenz von anfängst, also , statt der höchsten.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Japp, wie Polydiv funzt weis ich. Aber ich sehe jetzt nicht, wo ich diese anwenden muss.

Nochma von vorn. Ich habe dann folgende Formel.


Meinst du jetzt, diesen Bruch per Polydiv erstmal weitermachen?

bzw.

Habe jetzt mal die keinste Potenz an den Anfang gestellt, so wie du das sagtest. Keine Ahnung, ob das jetzt so richtig ist.

gruss
Timi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch mal, diese Polynomdivision ausführlich hier darzustellen (auch wenn's ein wenig blöd aussieht):


1.Schritt:

Durch gewinnt man das erste Glied , welches man dann wie üblich vom alten Dividenten abzieht:



2.Schritt:

Durch gewinnt man das zweite Glied , welches man dann wie üblich vom alten Dividenten abzieht:



3.Schritt:

Durch gewinnt man das dritte Glied . Mehr Glieder auszurechnen ist jetzt sinnlos, da hätten wir auch mehr Glieder der Kosinusreihe berücksichtigen müssen!



Also ist das Ergebnis

(Falls dir das nichts sagen sollte: das deutet nur sowas wie das nächste in Frage kommende Reihenglied an.)
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Ich hätte schnelller posten sollen, dass ich jetzt dein Ergebnis auch durch Polydiv raus hatte. Da hätte ich dir die Arbeit ersparen können. Trotzdem danke. Prost

Habe dazu aber noch so eine Aufgabe und zwar.


Eigentlich bin ich hier fast genauso vorgegangen. Aber hier macht mich irgendwie das Quadrat unsicher.

Also erstes habe ich den "sin" durch durch die Sinusreihe ersetzt.



Jetzt habe ich noch den Zähler mit dem Quadrat auflösen lassen und dann wieder Polydivision.

hier mal der Ausdruck



Der GTR spuckt ein ähnliches Erg. aus:

Leider weichen beide Erg. nach Integration ein wenig vom richtigen Erg. (1.239) ab.

Kannst du mal bitte gucken, ob mein Ansatz bzw. die Vorgehensweise soweit stimmen??

Vielen Dank
Timi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timi


Das sind aber arg viele Rechenfehler drin - links wie rechts:




Im übrigen musst du hier gar keine Reihen quadrieren, wenn du das Additionstheorem nutzt. Dann musst du nämlich "nur" in die Kosinusreihe



einsetzen.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Kannte ich gar nicht dieses Add.-Theorem, weil mein erster Gedanke auch in diese Richtig ging.. Habs jetzt aber gefunden in einem ausführlicheren Nachschlagewerk.

Da werde ich es jetzt mal weiter versuchen.

gruss
Timi
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Jo Danke, bin aufs richtige Ergebnis gekommen. Eins musst mir aber nochma verraten und zwar, wenn ich jetzt nicht, wie's es mir passiert ist, das richtig Add.-Thoerem gefunden habe, wie würde man die Reihe zum Quadrat dann lösen? Wenn ich jetzt nur 2 Terme in der Klammer habe, dann ist das ja ganz normal binomische Formel.
Jetzt sind aber drei Terme in der Klammer (a+b+c)².



In gewisser Weise komme ich auch auf ein paar Terme mit den Rechenregeln der binomischen Formel, aber eben nicht auf alle.

Danke
Timi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehen mal gleich zum zugehörigen Reihenprodukt über: Das ist eine sogenannte Cauchysche Produktreihe:



wobei die Koeffizienten rechts ermittelt werden gemäß



(Konvergenzfragen dieser Potenzreihen, die zweifelsohne wichtig sind, haben wir da jetzt allerdings außen vor gelassen.)

Bei Quadraten von Potenzreihen ist entsprechend zu setzen.


EDIT: Falscher oberer Summenindex korrigiert.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Aber irgendwie kann ich mir das anhand deiner Formeln nicht vorstellen. Naja, egal. Wenn das nicht zu umständlich ist, kannst du es mir ja mal vorrechnen, ansonsten muss ich mir das live mal erklären lassen.

Kannst du/ihr auch nochmal folgende AUfgabe überprüfen?



Rauskommen sollte ca. 0.749. Ich komme aber auf glatte 0.8. Ist zwar jetzt nicht so die grosse Abweichung, aber schon irgendwie komisch, aufgrund der "Einfachheit" (wenn ich's richtig gemacht habe) Augenzwinkern

Also erstes habe ich den Nenner als Reihe entwickelt. Da blieb nicht viel übrig ausser ne "1". Nenner 3mal Differenziert und jeweils x=0 gesetzt.

Damit hätte ich dann

was ich integriert habe = 1x und (1*0.8)-(1*0)=0.8 verwirrt

Irgendwie leicht merkwürdig. Glaube aber nicht, dass da einen Fehler gemacht habe. Klingt mir irgendwie logisch mein Rechnenweg.

gruss
Timi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal, sollst du das Integral genau ausrechnen, oder wieder über Potenzreihe nähern? Wenn letzteres, dann welcher Ordnung? Das ist entscheidend für das Ergebnis!
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Durch die ersten 3 Glieder der Potenzreihe. Im Prinzip das Selbe, wie bei den vorhergehenden Aufgaben. Aber hier ergeben sich meiner Meinung nach gar keine 3 Glieder.

gruss
Timi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Deinem "Wunschergebnis" 0.749 nach zu urteilen, sind nicht die ersten 3 Glieder der Potenzreihe gemeint, sondern die ersten 3 Nicht-Null-Glieder. Dann kommt's hin.
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