Winkelhalbierenden zweier Ebenen

17.02.2008, 11:49	MariellaKr	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelhalbierenden zweier Ebenen Hallo, ich hätte auch nochmal eine Frage zu Winkelhalbierenden zweier Ebenen. Hab zwar schon ein bissschen rumgelesen -was mir schon sehr geholfen hat- aber jetzt häng ich irgendwie... Also die Aufgabe lautet: Bestimme die winkenhalbierenden Ebenen zu $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ok, ich hab so angefangen: Also, der erste Schritt ist es ja den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ von beiden Ebenen zu berechnen; $\begin{eqnarray} \vec{n_1} : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6n_1 + n_2 + 4n_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3n_1 + 4n_2 + 4n_3 = 0 \end{eqnarray}$ => als Lösung dafür hab ich dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{-7}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rausbekommen. Das hab ich dann $\begin{eqnarray} \cdot 4 \end{eqnarray}$ genommen, damit der Bruch verschwindet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n_2} : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4n_1 + n_2 + n_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n_2 + 2n_3 = 0 \end{eqnarray}$ => hier hab ich als Lösung dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{-1}{4} \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rausbekommen. Das hab ich dann auch $\begin{eqnarray} \cdot 4 \end{eqnarray}$ genommen, damit der Bruch wieder verschwindet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich bin mir jetzt nicht sicher ob das soweit stimmt und wie es jetzt weiter gehen soll... Hab's aber trotzdem mal weiter versucht und hab die Länge der beiden Vektoren ausgerechnet und bin beides mal auf $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ gekommen. Soweit ich weiss, ist das eine der Bedingungen für die Winkelhalbierenden -dass beide gleich lang sein sollen. Ausserdem weiss ich dass man die Ebenen addieren bzw. subtrahieren muss um auf die Winkelhalbierenden (ich nehm dafür jetzt mal 'ne Abkürzung ^^ $\begin{eqnarray} w_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} w_2 \end{eqnarray}$ ) zu kommen. Das hängt mit dem Parallelogramm zusammen, dass die dann bilden. Ok, soweit so gut, aber bis jetzt waren die ersten Vektoren der Ebenengleichungen (sorry für die umständliche Umschreibung, weiss leider nicht wie sie heissen ^^) immer identisch. Ich weiss jetzt nicht wie ich damit umgehen soll... Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte! Liebe Grüße, Mariella
17.02.2008, 12:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Normalvektoren sind beide richtig. Zu deren Addition bzw. Subtraktion muss man sie erst auf die Länge 1 bringen (normieren) oder - was die Rechnung etwas erleichtern kann - auch auf eine (kleinste) gemeinsame Länge. Da beide Vektoren in deinem Fall die Länge 9 haben, bilden sie nicht nur ein Parallelogramm, sondern auch eine Raute (Rhombus), was eine entscheidende Bedingung für die Ermittlung der Winkelhalbierenden ist! Identisch sollten die Vektoren nicht sein, denn sonst wären die Ebenen parallel, und da gäbe es dann nur eine Mittenparallele (das ist aber dann eine andere Geschichte). Du hast also alles bisher richtig gerechnet und überlegt. Wie geht's nun weiter? mY+
17.02.2008, 12:56	MariellaKr	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann also das kgV der beiden Normalvektoren finden und sie dadurch teilen. In diesem Fall wäre dass dann 9. Kann ich sie in meinem Fall auch so stehen lassen, (sonst entstehen ziemlich hässliche Zahlen)? Das sähe dann so aus; $\begin{eqnarray} n_1: \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} \\ -\frac{7}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n_2: \begin{pmatrix} -\frac{1}{9} \\ \frac{8}{9} \\ -\frac{4}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ...ich glaube ich versteh jetzt den Zusammenhang; ich brauche die Länge der Normalvektoren um den Faktor zu finden, mit dem ich eine (oder beide) der Ebenen erweitern/kürzen muss/kann. Da aber in meinem Fall die Vektoren die gleiche Länge bereits haben, muss ich nichts mehr an der Ebenengleichung verändern, oder? Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass diese Vermutung stimmt und hab's einfach ausprobiert: $\begin{eqnarray} w_1 = E_1 + E_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1 = (\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}) + (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = E_1 - E_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, ich hoffe das stimmt... =) Vielen Dank soweit, liebe Grüße, Mariella
17.02.2008, 13:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
deine vermutung stimmt, und auch wieder nicht. $\begin{eqnarray} w_{1,2} : HNF_1\pm HNF_2=0 \end{eqnarray}$ da bei dir die normalenvektoren gleiche länge haben, kannst du auch schreiben: $\begin{eqnarray} w_{1,2} : E_1 \pm E_2=0 \end{eqnarray}$ aber du mußt die beiden ebenen auf die entsprechende koordinatenform bringen! (s, r aus $\begin{eqnarray} E_1 \end{eqnarray}$ sind NICHT s, r aus $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ )
17.02.2008, 17:48	MariellaKr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, langsam wird mir das alles klar... Über das Kreuzprodukt erhalte ich die Koordinatenform: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -12 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ diese multipliziert mit dem Vektor ergibt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -12 \\ -12 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 24 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das ist nun die erste Koordinatenform: $\begin{eqnarray} -12n_1 + 24n_2 - n_3 = 0 \end{eqnarray}$ Bei der zweiten Ebene ergibt das: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wieder mit dem jeweiligen Vektor multipliziert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit hab ich die zweite: $\begin{eqnarray} n_1 - 8n_2 + 12n_3 = 0 \end{eqnarray}$ Ok, ich hoffe dass es jetzt dieses Mal soweit stimmt... Ich würde jetzt so weiter machen; $\begin{eqnarray} w_1: E_1 + E_2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1: (-12n_1 + 24n_2 - n_3) + (n_1 - 8n_2 + 12n_3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_1: -11n_1 + 16n_2 +11n_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2: E_1 - E_2 =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2: (-12n_1 + 24n_2 - n_3) - (n_1 - 8n_2 + 12n_3) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2: -13n_1 + 32n_2 - 12n_3 = 0 \end{eqnarray}$ Nur irgendwie kann das nicht ganz stimmen, da ja das Skalarprodukt Null sein muss, sonst wären die Vektoren ja nicht senkrecht -was wiederum die Bedingung ist.... ooh je... Das mit den Längen der Normalvektoren war also nur wichtig um herauszufinden ob ich die Ebenengleichungen erweitern/kürzen muss, oder?
17.02.2008, 19:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du denn die Koordinatenform der Ebenen berechnet? Normalvektor hast ja schon,also lautet z.B. $\begin{eqnarray} E_1: \ 4x_1 + 4x_2 - 7x_3 = c \end{eqnarray}$ Das c rechnest mittels des gegebenen Stützpunktes aus, fertig. So einfach. Desgleichen bei E2. Diese beiden Ebenengleichungen kannst du nun addieren bzw. subtrahieren, weil beide Normalvektoren gleich lang (9) sind. mY+
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17.02.2008, 19:11	MariellaKr	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, vielen Dank!! Ich hatte mich bei der Aufgabe total verzettelt und hatte somit den Überblick völlig verloren. Eigentlich voll die simple Aufgabe... Also vielen Dank nochmal für die Hilfe !! Liebe Grüße, Mariella PS: Soll ich die Lösung nachher posten, damit andere die Aufgabe nachvollziehen können? Meine bisherigen Lösungsansätze sind ja eher verwirrend als hilfreich ...
18.02.2008, 00:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, tue das gerne, ein richtiger Abschluss des Threads ist immer willkommen! mY+

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