Problem: Hauptachsentrafo

17.02.2008, 16:15

freudibold

Problem: Hauptachsentrafo

Ich hab ein Problem und hoffe, dass mir jemand hier helfen kann:
Und zwar soll ich so eine Hauptachsentransformation machen.
Da hab ich jetzt aus
$\begin{eqnarray*} 13 x_1^2 - 10 x_1x_2 + 13 x_2^2 -288 = 0 \end{eqnarray*}$
die Eigenwerte 8 und 18 rausbekommen.
Ich hab auch die orthonormierten Eigenvektoren ausgerechnet, und so eine Drehungsmatrix aufgestellt, weiß nur leider nicht warum.

Nun muss ich die Geschichte ja irgendwie in so eine Form mit y bringen.
Laut Lösung ist das richtig:
$\begin{eqnarray*} P_{(y)} = 18 y_1^2 + 8 y_2^2-288 = 0 \end{eqnarray*}$

Woher weiß ich welches y welchen Eigenwert als Faktor bekommt?

17.02.2008, 16:22

therisen

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Es kommt ganz darauf an, wie du deine Orthonormalbasis wählst, d.h. in welcher Reihenfolge du die Eigenvektoren anordnest. Anschaulich gesprochen wird ja nur das Koordinatensystem geeignet gedreht - da macht es dann auch keinen Unterschied, ob x- und y-Achse "vertauscht" sind.

17.02.2008, 16:30

freudibold

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Danke schonmal für deine Antwort.

Bleibt das auch egal, wenn ich dann eine Verschiebung mit drin hab?

Also z.B. bei $\begin{eqnarray*} 9x_1^2 - 24 x_1x_2 + 16 x_2^2 - 130 x_1 + 90 x_2 + 175 = 0 \end{eqnarray*}$

17.02.2008, 17:09

therisen

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Dies ist keine quadratische Form.

17.02.2008, 17:12

freudibold

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Laut Lösung kommt da aber durch Hauptachsentransformation eine Parabel raus, wobei man zwischen durch die ungemischten und linearen Terme als Verschiebung mit einbaut.
Ist die Aufgabe/Lösung sozusagen Quatsch?

17.02.2008, 17:19

therisen

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Ne, das passt schon (man muss ja nicht nur quadratische Formen betrachten). Aber auch in diesem Fall steht es dir frei, in welcher Reihenfolge du deine Basis anordnest.

17.02.2008, 17:22

kiste

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Puh ist schon ne Weile her, aber ich versuch mich mal daran Augenzwinkern

.

Du hast ein euklidische Quadrik(quadratische Form + linear Teil + konstante):
$\begin{eqnarray*} x^tAx + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$
Jetzt führst du eine Transformation mit O aus und kommst auf D:
$\begin{eqnarray*} x^tO^tDOx + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (Ox)^tD(Ox) + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$
Nennen wir $\begin{eqnarray*} Ox = y \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} y^tDy+bx+c=0 \end{eqnarray*}$
Jetzt muss der lineare Teil noch transformiert werden:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y^tDy + bO^tOx + c = y^tDy + (bO^t)Ox + c = y^tDy + (bO^t)y+c = 0 \end{eqnarray*}$

Also alles normal machen, dann aber den linearen Teil transformieren

17.02.2008, 17:24

freudibold

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Danke für deine Hilfe smile

Ich werd am besten in der Klausur morgen einfach den Algorithmus zur Hauptachsentransformation durchziehen, auch wenn ich keinen Schimmer hab was ich eigentlich hier mache verwirrt

17.02.2008, 17:33

freudibold

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Zitat:

Original von kiste
Puh ist schon ne Weile her, aber ich versuch mich mal daran Augenzwinkern

Danke für deine Mühe. Also ich glaube, wir machen das anders. Wir machen aus dem euklidischen Quadrik eine Matrix A, einen Teil zur "Verschiebung" (also der lineare Teil glaub ich) und die Konstante.
Dann berechnen wir die Eigenwerte a,b und c und die zugehörigen Eigenvektoren von A.
Aus den Eigenvektoren bau ich mir dann eine sogenannte "Drehungsmatrix", welche die Determinante +1 haben muss.
In dem ich die transponierte Drehungsmatrix dann mit dem Verschiebungsvektor multipliziere erhalte ich die Faktoren d,e und f.

Dann setze ich das ein in:
$\begin{eqnarray*} P_{(y)} = a y_1^2 + b y_2^2 + c y_3^2 + d y_1 + e y_2 + f y_3 + Konstante = 0 \end{eqnarray*}$
Das muss ich dann immer noch irgendwie versuchen so umzuformen, dass so eine Normalform rauskommt und ich die Art der Fläche/Körper ablesen kann.

Ich weiß nicht, ob du vlt. dasselbe beschrieben hast aber mit solchen langen Formeln komme ich irgendwie immer nicht zurecht. Also hab ich einfach mal mit meinen eigenen Worten formuliert Augenzwinkern

17.02.2008, 17:35

kiste

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Genau das sagen meine Formeln auch aus Big Laugh

, das O ist deine "Drehungsmatrix"

17.02.2008, 17:48

freudibold

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Ich bin immer wieder erstaunt, wie man eigentlich in der Anwendung recht einfache Dinge so schwer ausdrücken kann. (wahrscheinlich ich bin einfach zu doof Augenzwinkern

)
Deswegen hab ich in Mathe größtenteils immer ganz schön zu tun, wenn mans einmal begriffen hat wies funktioniert, merkt man erstmal wie einfach manche Sachen eigentlich sind. Aber bis ichs halt manchmal begriffen hab, naja...

Auf jeden Fall vielen Dank für eure Mühe, Ich glaub jetz hab ichs wirklich kapiert smile

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