Injektv, Surjektiv und Bijektiv

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555 Auf diesen Beitrag antworten »
Injektv, Surjektiv und Bijektiv
Hallo, habe hier mal eine Übungsaufgabe, die ich gerade versuche zu lösen.



Jetzt möchte ich bestimmen, ob es injkiv oder surjektiv ist. Also die Lösungen sind gegeben, deswegen konnt ich meine "Vermutung" bestätigen, die Funktion ist injektiv aber nicht surjektiv und dementsprechend auch nicht bijektiv, aber wie kann ich das zeigen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektv, Surjektiv und Bijektiv
Was ist denn das Urbild der Zahl 1? Augenzwinkern
555 Auf diesen Beitrag antworten »

1?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1?


Deine Funktion bildet eine Zahl n auf die Zahl n + 1 ab. Das heisst die Urbilder einer Zahl m im Bildraum sind gerade m - 1.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, das versteh ich jetzt nicht ganz, ich dachte die Urbildmenge ist der Definitionsbereich? D.h. doch das Urbild ist n und n+1 wäre dann der Zielbereich... Ich verstehe den Zusammenhang mit m-1 nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ging es eigentlich nur darum, daß du mir ganz konkret sagst, welches Urbild auf die Zahl 1 abgebildet wird.
 
 
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso Moment mal, ihr seit bei surjektiv und ich bin die ganze Zeit bei den Überlegungen für Injektiv gewesen, ja schon doof, wenn man seine eigenen Aufgabe nicht richtig gelesen hat...

Also, ok surjektiv...
Da muss ja für jeden Wert in der Zielmenge ein Wert im Definitionsbereich gegeben sein, also ein Urbild existieren, dass auch mehrmals verwendet werden kann.
Und da ich als Zielbereich alle natürlichen Zahlen habe, findet sich für 1 natürlich kein Urbild, da ja immer noch ein 1 drauf addiert wird.

Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, die Formulierungen sind ein bißchen merkwürdig.

Zitat:
Original von 555
Da muss ja für jeden Wert in der Zielmenge ein Wert im Definitionsbereich gegeben sein, also ein Urbild existieren, dass auch mehrmals verwendet werden kann.

Mach doch einfach einen Punkt. Also:
Da muss ja für jeden Wert in der Zielmenge ein Wert im Definitionsbereich gegeben sein, also ein Urbild existieren.

Zitat:
Original von 555
Und da ich als Zielbereich alle natürlichen Zahlen habe, findet sich für 1 natürlich kein Urbild, da ja immer noch ein 1 drauf addiert wird.

Auch wenn du als Zielbereich die Menge {1; 2; 3} hättest, wäre das so. Das "da ich als Zielbereich alle natürlichen Zahlen habe" ist also keine Begründung. Die Begründung ist schlicht, daß es zu 1 kein Urbild gibt, da dieses die Null sein müßte, die aber nicht zum Definitionsbereich gehört.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Das meint ich doch so smile Ich weiß, ich drücke mich manchmal ein wenig unverständlich aus *g

Aber wie begründe ich denn nun injektiv? Es reicht doch normalerweise nicht, wenn ich einfach sage, dass für alle natürlichen Zahlen, die ich für n einsetze für jedes n genau ein m existiert oder?

Kann man das nicht irgendwie zeigen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
die ich für n einsetze für jedes n genau ein m existiert oder?


Das ist genau das was Du zeigen sollst und wenn Du es zeigen kannst biste fertig. Ein gängiger Injektivitätsbeweis ist folgender. Du nimmst an das eine Natürliche Zahl



zwei Urbilder



hat, das also



und folgerst dann daraus das



sein muss.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das wußte ich, denn jetzt weiß ich absolut gar nicht wie ich das zeigen soll, habe noch nicht mal eine Vorstellung...
Ich habe zwar verstanden was ich machen muss, kann es aber nicht umsetzen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genau das wußte ich, denn jetzt weiß ich absolut gar nicht wie ich das zeigen soll, habe noch nicht mal eine Vorstellung...


Das ist hier bei der Aufgabe wirklich trivial. Du musst zeigen das wenn



das dann sofort



ist. Jetzt wissen wir aber das



welchen Wert müssen dann haben?
555 Auf diesen Beitrag antworten »

n-1!

Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Jetzt wissen wir aber das



verwirrt Ist nicht und ?

Aus folgt sofort, daß dann auch u_1 = u_2 ist.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
verwirrt Ist nicht und ?

Aus folgt sofort, daß dann auch u_1 = u_2 ist.


Ich machs immer anders rum. Ich nehme an das



und folgere das dann



Kann man halten wie 'n Brett.

Zitat:
n-1!
Richtig?


Japp, und was uns das sagt hab ich ja auch schon geschrieben.

edit:

Dein Weg ist insofern schöner als das man den Fall n = 1 nicht betrachten muss sehe ich grad.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt versteh ich glaub ich gar nix mehr...

Also ich dachte, dass man bei immer noch von der Funktion n+1 ausgeht... Und wenn = n sein sollen, dann muss ich doch gucken, welchen Wert ich für einsetzen muss, damit n rauskommt.

Oder liegt der Fehler jetzt nur in der gewechselten Zeichen? Dann würde halt für rauskommen und dann sind die doch allgemein gleich, also n-1 für beide oder nicht?
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso dann hab ich das ja doch richtig gemacht und das war dann schon alles? Also eigentlich hat man jetzt doch auch nur ein Beispiel dafür gesucht, dass es klappt und das nur verallgemeinert ausgedrückt...

Mhh, dass war ja echt trivial...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, also Klarsoweit hat nur einen anderen Weg eingeschlagen. Die Beweisführung ist ja nicht eindeutig. Um mal die Methodik zu beschreiben.

Ich geh von hinten nach vorne , ich sage



Das heisst ich kann sofort folgern das



Klarsoweit geht von vorne nach hinten er sagt



dann setzt er also

Das ist alles. Augenzwinkern

Zitat:
Also eigentlich hat man jetzt doch auch nur ein Beispiel dafür gesucht


Kein Beispiel, dadurch das wir allgemein gewählt haben zeigen wir es für alle Definitionsbereichselemente.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh smile

Und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man das immer so zeigen kann?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man das immer so zeigen kann?


Man muss es immer so zeigen. Injektivität ist eine eindeutigkeits Aussage. Und Eindeutigkeit zeigt man immer in dem man animmt es wäre nicht eindeutig und dann zeigt das dass nicht sein kann.
Es gibt aber in anderen Bereichen durchaus andere Kriterien die man zeigen kann. Zum Beispiel gilt für lineare Abbildungen f das f genau dann injektiv ist wenn nur die 0 auf 0 abgebildet wird.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, ok, das find ich aber schon mal gut, dann probier ich das gleich noch mal an einer anderen Aufgabe aus smile
Schönen Dank für die gute Hilfe!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch doch mal zu zeigen das

f(x) = ln(x) injektiv und surjektiv (auf dem Def. Bereich)
injektiv aber nicht surjektiv (auf ganz R)
weder injektiv noch surjektiv (auf ganz R)
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der ersten Aufgabe, welcher Definitionsbereich ist denn da gemeint?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

x > 0 da der logarithmus für x <= 0 nicht definiert ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Versuch doch mal zu zeigen das

f(x) = ln(x) injektiv und surjektiv (auf dem Def. Bereich)
injektiv aber nicht surjektiv (auf ganz R)
weder injektiv noch surjektiv (auf ganz R)

Wenn es um diese Fragen geht, sollte man die Wertebereiche schon noch mit angeben. mit



ist nämlich durchaus surjektiv.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar da hätte ich auch von alleine drauf kommen können.

Also für Injektiv bin ich genauso wie besprochen vorgegangen:

Es ist zu zeigen, dass zwei Urbilder , so dass

Beweis: Man setzt voraus, dass , dann muss folgendes gelten: ,
so dass

Also ist f injektiv. Ist das richtig?

So bei Surjektiv hab ich gleich wieder Schwierigkeiten, also es muss für alle positiven reellen Zahlen surjektiv sein, da man für n Werte immer ein Ergebnis erziehlt. Auch hier fehlt mir allerdings ein Ansatz wie man das richtig begründen kann.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also mal langsam, der Logarithmus ist eine Funktion



Man nimmt also an das und wir nehmen an das es gibt mit

und


dann ist schonmal



Zitat:
dann muss folgendes gelten: ,


Das ist falsch, denn dann sind . Du musst aus der Gleichung



ableiten das . Hierbei Hilft Dir das Logarithmusgesetz

555 Auf diesen Beitrag antworten »

Toll, dann hab ich ja anscheinend gar nix verstanden...
Also eigentlich dachte ich, dass ich gezeigt habe, dass beide gleich x sind und somit gleich...

Ich habe keine Ahnung, wie ich das Gesetzt auf die Gleichung anwenden soll...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also eigentlich dachte ich, dass ich gezeigt habe, dass beide gleich x sind und somit gleich...


Du musst nicht zeigen das die beiden gleich x sind, Du musst zeigen das . Du musst hier Unterscheiden zwischen



und



machen. Das erste ist unsere Vorausetzung, das zweite das was wir zeigen wollen. Im Übrigen ist



Jetzt sollteste es sehen.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sehe es, den Ansatz hatte ich auch aufgeschrieben, aber hab es verworfen, da ich nicht sicher war, ob man das mit den Logarithmen machen darf. Klar die Differenz wird dann natürlich zu dem Bruch bezüglich des Gesetzes:



Ahhh... Und jetzt kann ich daraus schließen, dass gleich sein müssen, da es sonst nicht 0 ergibt!
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ln muss natürlich unten weg.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ahhh... Und jetzt kann ich daraus schließen, dass gleich sein müssen, da es sonst nicht 0 ergibt!


Genau.

555 Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, mhh und wie geh ich nun an das surjektiv? Kannst du mir da vielleicht auch weiter helfen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du die Surjektivität zeigen willst nimmst Du x aus dem Bildraum an un zeigst das es ein Urbild gibt. Mal als Beispiel:

f(x) = 2x + 1

jetzt nehme ich an und suche ein x so das . Das wäre dann die Gleichung



Ich habe also zu einem allgemeinen ein x gefunden so das . Damit ist die Funktion surjektiv.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich dann

Sie ist also surjektiv, stimmt das denn diesmal? smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist richtig, Du hast für jeden Wert des Bildraumes ein Urbild gefunden.
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Coool smile Ok, morgen versuch ich mal die anderen beiden Aufgaben zu lösen, soweit danke für deine geduldige Hilfe smile
555 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich gerade mit der zweiten Aufgabe angefangen mich zu beschäftigen:



Kann man eigentlich einfach so erkennen, ob die Funktion surjektiv ist? Also es wurde jetzt dazu geschrieben, aber wenn man die Aufgabe spontan bekommt und man so sagen soll, ob sie surjektiv ist, geht das?
FabianB Auf diesen Beitrag antworten »

müsste man nicht erstmal wisseen was der Definitions- und Wertebereich ist um eine Aussage treffen zu können?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also es wurde jetzt dazu geschrieben, aber wenn man die Aufgabe spontan bekommt und man so sagen soll, ob sie surjektiv ist, geht das?


Versuch das mal selbst zu ergründen. Man kann einem Graphen durchaus ansehen ob eine Funktion injektiv oder surjektiv ist (auf den lokalen Abschnitt den man gezeichnet hat beschränkt natürlich). Man muss natürlich definitionsbereich und wertebereich kennen.
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