Kegelschnitte |
| 19.02.2008, 21:51 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kegelschnitte ich weiß, dass alle Parabeln und Kreise ähnlich sind. Theoretisch müssten ja auch Hyperbeln und Ellipsen ähnlich sein, aber ich weiß keine Begründung.... Kann mir jemand helfen??? Danke&Gruß babymaus |
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| 19.02.2008, 21:52 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kegelschnitte Wie genau ist denn diese "ähnlich"-Relation definiert? |
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| 19.02.2008, 21:55 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja ähnlich heißt doch, wenn man eine Figur durch eine Ähnlichkeitsabbildung in die andere überführen kann. d.h. ich kann jede Parabel/Kreis durch Streckung oder so in eine ähnlich Parabel bzw. Kreis abbilden. Nun ist meine Frage, ob dies auch für Hyperbeln/Ellipse gilt... |
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| 20.02.2008, 00:51 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, meines Wissens nach nicht. Der analytische Zusammenhang der Kegelschnitte ist, dass sie alle durch die selbe Gleichung ax²+2bxy+cy²+2dx+2ey+f=0 beschrieben werden können mit unterschiedlichn Koeffizienten. Beim Kreis z.B ist a und c =1, f negativ, und alle anderen koeffizienten gleich null |
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| 20.02.2008, 07:23 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jaja das mit der Gleichung ist klar. Meine Frage war, ob alle Ellipsen ähnlich sind. Und Frage zwei, ob alle Hyperbeln ähnlich sind. Nicht, ob alle Kegelschnitte miteinander ähnlich sind. Ich weiß, dass alle Kreise zueinander ähnlich sind und alle Parabeln.... |
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| 20.02.2008, 09:17 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stimmt meines wissens so nicht. allerdings ist die ellipse das affine (ähnliche) bild des kreises. zeichne dir doch 2 ellipsen, hyperbeln oder parabeln auf und untersuche sie auf ähnlichkeit 
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| 20.02.2008, 09:40 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab das Gefühl, dass ihr meine Frage net versteht.... Wir hatten, dass alle Kreise zueinander ähnlich sind, da man sie ja mit Streckung (z.B. r wird größer) ineinander abbilden kann. Für Parabeln gilt ja das gleiche, da man sie ebenfalls durch Streckung/Stauchung ineinander führen kann. Jetzt ist meine Frage ob alle Ellipsen zueinander ähnlich sind??? Ich würde sagen ja, da man sie ja wie einen Kreis strecken kann - weiß aber net ob das stimmt. Und sind alle Hyperbeln zueinander ähnlich? Auch hier würde ich sagen ja, weil man sie ja auch ineinander überführen kann durch Verschiebung oder Streckung. Aber ich weiß nicht, ob es bei Ellipse/Hyberbel stimmt. |
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| 20.02.2008, 10:01 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist es nicht eher so, dass du - wie eingangs von dual-space angeregt - zunächst einmal deine art von ähnlichkeit definieren solltest 
in dem sinne, wie du das jetzt bringst, habe ich ja deine frage bezüglich ellipsen beantwortet. |
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| 20.02.2008, 10:19 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das problem ist, dass wir ähnlichkeit net wirklich definiert haben, aber ich weiß, dass unter ähnlichkeit sämtliche Figuren verstanden werden, die durch eine Streckung in die andere überführt werden können. Und du hast doch nur gemeint, dass Ellipsen ne ähnliche abbildung vom kreis ist, oder hab ich dich da falsch verstanden? Und ich will wissen, ob ALLE ELLIPSEN ZUEINANDER ÄHNLICH SIND und nicht, ob alle Kegelschnitte, oder Ellipsen zu Kreisen ähnlich sind. |
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| 20.02.2008, 10:41 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so ist das. Nun ich denke, dass wenn du aus einer Ellipse einen Kreis machen kannst, dann kannst du daraus erst recht eine andere Ellipse machen. Und aus einer Parabel wirst du dir auch eine andere basteln könnnen, ebenso mit Hyperbeln. Allerdings kannst du strecken wie du willst, du kriegst aus einer Hyperbel keine Parabel 
war das deine frage? |
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| 20.02.2008, 10:43 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das heißt, ich kann aus jedem einzelnen kegelschnitte wieder den selben kegelschnitt machen. d.h. alle ellipsen sind zueinander ähnlich, alle parabeln zueinander ähnlich, alle kreise zueinander ähnlich und alle hyperbeln zueinander ähnlich? aber eben nicht unbedingt die kegelschnitte untereinander? |
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| 20.02.2008, 11:50 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aye, das wäre die Antwort, die ich zumindest in der Schule geben würde 
Ich meine mich zu erinnern in einem dossier gelesen zu haben, dass man auch eine Parabel in eine Ellipse überführen kann, wenn man die Unendlichkeit in die Geometrie einführt (so in etwa wie die Sache, dass sich parallele Geraden im Unendlichen doch schneiden) Und wer weiss was ein Topologe dazu sagen würde? 
Allerdings solltest du dich zunächst mit der obigen Aussage zufrieden geben, weil ich mir hier nicht sicher bin, aber trotzdem nich denken, dass es vollkommen unmöglich ist
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| 20.02.2008, 12:01 | babymaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar, bin damit zufrieden und glaub die Aussage genügt auch! Danke für eure Hilfe und eure Geduld 
sorry, dass ich mich bisschen missverständlich ausgedrückt habe! Grüßle Babymaus |
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| 20.02.2008, 13:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich nicht! VETO! Unter Ähnlichkeit im klassischen Sinne verstehe ich Proportionalität! Demgemäß sind zwei Ellipsen nur dann ähnlich, wenn das Verhältnis ihrer (Halb-)Achsenlängen gleich bleibt. Diese Eigenschaft haben nun beileibe nicht alle Ellipsen! Die hier angesprochene Streckung erzeugt nur dann ähnliche Figuren, wenn der Streckungsfaktor in alle Dimensionen (z.B. in x- und y - Richtung) der gleiche ist. Das Gleiche gilt für Hyperbeln. Parabeln können aus dem Grund nie ähnlich sein, weil der Streckungsfaktor in y-Richtung quadratisch zu dem der x-Richtung zum Ausschlag kommt. Kreise sind einander immer ähnlich, das ist offensichtlich. mY+ |
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| 20.02.2008, 15:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da erinnerst du dich richtig, denke ich, eventuell umgekehrt
.eine ellipse geht bei festem (und festem scheitel ) für in eine parabel über, habe ich zumindest bei hilbert... gelesen. dan wird es wohl wahr sein
und wegen der definition der "ähnlichkeit" hat ja eingangs Dual Space - leider erfolglos 
- interveniert. |
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| 20.02.2008, 17:24 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bezog mich auf das angehängte Bild, habs grad eingescannt Kann das leider nur wenig kommentieren inwieweit das zur Ähnlichkeit von Parabeln und Ellipsen beiträgt, da hier ja von perspektivischem Zeichnen die Rede ist... |
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| 20.02.2008, 18:09 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und auch "mein" bilderl ohne kommentar, aus dem zitierten buch |
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| 20.02.2008, 19:31 | Mathegreis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dem Begriff nach kann man auch sagen: Wird ein gerader Kreiskegel mit einer Ebene geschnitten, heißen die entstehenden Schnittlinien auf dem Kegelmantel "Kegelschnitte" Beträgt der Schnittwinkel zur senkrechten Höhe, erhält man einen Punkt, wenn die Ebene durch die Spitze gelegt wird, ansonsten einen Kreis. Ist der Schnittwinkel als der halbe Winkel an der Spitze des Kegels erhalt man eine Ellipse. Verläuft der Schnitt parallel zu einer Mantellinie gibt es eine Parabel. Bei der Hyperbel wird es etwas komplizierter. Da muss man von einem Doppelkegel ausgehen. Die Hyperbel entsteht, wenn der Schnittwinkel als der halbe Winkel an der Spitze des Kegels ist. Hätte das gern auch mal als Bild angehängt, bin jedoch nicht so versiert. |
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