Symmetrie von ganzrationalen Funktionen (?) - Seite 2

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Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine Kommentierung Deiner Kurvendiskussion unter Aussparung der Extrema und des Verhaltens im Unendlichen:

Zitat:
1. Symmetrie:
Die Funktion ist nicht symmetrisch , da siese nicht ausschliesslich gerade bzw ungerade exponenten aufweisen kann.


Wie oben schon von Lazarus angemerkt, heißt das nur, dass keine Achsensymmetrie zur y-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt.

Zitat:
3.Schnittpunkte mit den Achsen
a) Schnittpunkt mit y-Achse: f(0)= 0^3- 3*0^3+3*0 = 0
P(0/0) (kann das stimmen,weil dann wäre die Kurve ja doch punktsymmetrisch zum Ursprung?)


Wie am Graph zu sehen kann es stimmen und stimmt auch.

Zitat:
b) Schnittpunkte mit x-Achse:
0= x(x^2-3x+3)
p/q-formel:
x1/2= -3/2 +/-
= -3/2 +/-
Also nur eine Nullstelle x=0


Vom Ergebnis her richtig, aber wie oben schon von derkoch angemerkt ist in der p-q-Formel ein Vorzeichenfehler! Es sind -3x, also ist
Auf solche Dinge sollte man achten, wenn einem sein mathematisches Leben lieb ist.

Zitat:
5. Wendepunkte
f``(x)=6x-6
6=6x
x=1= Wendepunkt


Japp, würd' ich auch sagen.

Zitat:
6. Wertemenge
Das versteh ich irgendwie nicht ,da steht ich solle aus 2. und 4. den kleinsten und grössten Wert bestimmen den f annimmt, aber wie?


Hat sich ja wohl erledigt, nachdem Du das Verhalten der Funktion im Unendlichen verstanden hast.
Alles klar?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986

4. relative Extrema
f`(x)= 3x^2-6x+3
0= x^2-2x+1
x1/2= 1 +/-
x1= 2,41 x2= -0,41



hier liegt auch ein fehler mit der pq formel vor!
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das kurz einwerfen darf, da ich gerade deinen wikipedia-link gelesen hab, was denken die eigentlich wenn die sowas schreiben
Zitat:
Erst wenn f ''' nicht 0 ist, ist ein Wendepunkt erwiesen.


wie sieht mit x^9 aus ?

f'''(0)=0
was soll man nur machen ??
da steht halt echt kein wort drüber drinn ^^

naja - mir egal
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay dann verbesser ich die sachen ....
dankeschön nochmal =)
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah bei der vierten aufgabe hab ich nur hier vergessen das "+1" einzutragen Hammer auf meinem blatt hatte ich es
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte mit der roten makierung nicht,daß die +1 gefehlt hat, sondern du hast beim einsetzen in die pq formel das vorzeichen falsch!
unter der wurzel steht eine 0
 
 
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

oooh ...hmhm dann muss ich das noch ändern ...
vorzeichen sind nicht so mein ding *la la la* bin dafür zu schluderig *dum di dum*
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich hab das jetzt berichtigt
dann hab ich daraus:
1
dann kommt da doch raus
x1,2= 1
eingesetzt in f"(1)=6*1-6
= 0
so meine frage ist jetzt: das ist ja kein Hoch bzw Tiefpunkt...was ist es dann?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sags immer wieder gerne. Nur weil da Null rauskommt heisst das noch lange nicht das es kein Extremwert sein "kann". Im Zweifelsfall ist ein VZW das sicherste Kriterium. Sonst musst du eben auf Wendepunkt untersuchen.
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

also wendepunkt ist ja 1 das haben wir ja schon festgestellt ...
aber was ist VZW?
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

du bildest die erste ableitung.

wenn beim durchlaufen von x_0 vorzeichenwechsel von + nach - dann ist es nen hochpunkt. analog dazu gilt es dann für nen tiefpunkt!



gruß, mercany
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
so meine frage ist jetzt: das ist ja kein Hoch bzw Tiefpunkt...was ist es dann?


Du machst es Dir zu einfach. WENN du ein xE als mögliche Extremstelle berechnet hast UND f''(xE) ungleich Null ist, kannst Du Dir sicher sein, dass dieses xE nicht nur möglicherweise, sondern auch tatsächlich eine Extremstelle ist.
Der Umkehrschluss: "f''(xE) ist Null, also ist xE keine Extremstelle" ist jedoch FALSCH. Vielmehr weißt Du in diesem Fall nicht, ob Du eine Extremstelle hast oder nicht. Dann musst Du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden:
Wenn Du eine beliebige Zahl (nennen wir sie a) auswählst, die zwischen xE und der letzten möglichen Extremstelle davor liegt, und anschließend eine weitere Zahl (bezeichnen wir sie mal rein willkürlich als b), die größer ist als xE, aber kleiner als die nächste mögliche Extremstelle, so muss f'(a) das umgekehrte Vorzeichen haben wie f'(b), wenn Du eine Extremstelle hast. Gibt es diesen Vorzeichenwechsel nicht, so hast Du auch keine Extremstelle, sondern einen Sattelpunkt. Das ergibt sich schlicht aus der Definition der Extremstelle, die ja darin besteht, dass die Funktion entweder vorher rauf (positive Tangentensteigung) und nachher runter (negative Tangentensteigung) geht, oder genau umgekehrt.

EDIT: Jetzt hab ich so lange hierdran geschrieben, dass andere vor mir fertig waren, ich lass es trotzdem mal stehen.
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

hmhm also muss ich jetzt 0 in die zweite ableitung einsetzen ....
f"(0)= 6*0-6
= -6

Also ist -6 die Extremstelle und es gibt keinen Hoch- bzw Tiefpunkt ...


aaaah ich peil das ganze net ich möchte zurück zu meinen linearen und algebräischen gleichungen ....darin bin ich gut ... aber das ist alles so komisch ..ich weiss das ich zei milliarden formeln hab die ich anwenden muss das ist mir klar ..aber ich weiss nie was mit dem ergebnis anzufangen ...=(
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
hmhm also muss ich jetzt 0 in die zweite ableitung einsetzen ....
f"(0)= 6*0-6
= -6

Also ist -6 die Extremstelle und es gibt keinen Hoch- bzw Tiefpunkt ...


aaaah ich peil das ganze net ich möchte zurück zu meinen linearen und algebräischen gleichungen ....darin bin ich gut ... aber das ist alles so komisch ..ich weiss das ich zei milliarden formeln hab die ich anwenden muss das ist mir klar ..aber ich weiss nie was mit dem ergebnis anzufangen ...=(


Ich weiß nicht, wie Du drauf kommst, 0 überhaupt irgendwo einzusetzen. Du hast eine Stelle xE, nämlich 1, an der ist. Diese Stelle ist entweder ne Extremstelle oder eine Wendestelle, an der ein Sattelpunkt liegt. Wenn wäre, wüsstest Du, dass da eine Extremstelle ist, aber den Gefallen tut uns die Funktion nicht.
Jetzt kannst Du das Vorzeichenwechselkriterium anwenden. Dazu nimmst Du die erste Ableitung:

und musst erst einen einen Wert zwischen 1 und der letzten kleineren möglichen Extremstelle einsetzen. Da Du oben mit p-q-Formel kein kleineres Ergebnis gekriegt hast, kannst Du irgendeinen Wert unterhalb von 1 nehmen, z.B. Null. Welchen Wert hat f'(0)? Und jetzt noch einen Wert oberhalb von 1, z.B. 2. Welchen Wert hat f'(2)? Du wirst sehen, dass kein Vorzeichenwechsel stattfindet und Du es demnach mit einer Wendestelle zu tun hast.
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

mhmm okay ..ah das ist alles so kompliziert =/
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
mhmm okay ..ah das ist alles so kompliziert =/


Vorzeichenwechsel ist eigentlich die unkomplizierteste Geschichte überhaupt. Ich versuchs mal wieder über die Anschauungsschiene:

Das ist der Graph der Funktion (gefunden hier). Diese hat offensichtlich einen Hochpunkt bei (2/0), und vorher gibt es noch einen Tiefpunkt irgendwo in der Nähe von 1,5. Zwischen diesen beiden Punkten kann alles mögliche passieren, aber es ist klar, dass die Funktionswerte dabei kontinuierlich aufwärts gehen. Zeichnest Du irgendwo in diesem Bereich eine Tangente an die Kurve, so hat sie eine positive Steigung. Zeichnest Du dahinter irgendeine Tangente (weitere Extrempunkte kommen ja nicht mehr), so hat sie eine negative Steigung, weil die Kurve fällt. Ansonsten hätten wir ja keinen HOCHpunkt. Und "rechnerisch" merkst Du das halt daran, dass die Funktion , die ja nichts anderes angibt, als die Tangentensteigung, in dem definiterten Bereich vorher positive und nachher negative Werte annimmt. Wäre bei 2 eine Wendestelle, täte sie das nicht, weil die Tangentensteigung dann vorher und nachher positiv wäre.
Die "zwei Milliarden Formeln" zu lernen ist gar kein Problem, wenn Du verstehst, was dahinter steckt. smile
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Formeln kann ich ja auch ,das war noch nie mein Probelm und Ableitungen kann ich ja auch , nur wenn ich dann da Ergebnisse raus habe weiss ich nie was mit denen anzufangen das ist mir irgendwie zu Abstrakt keine Ahnung warum ....=( und ich soll in mathe abi machen ...da seh ich gerade schwarz =/
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Ahem, nebenbei gesagt hab ich in meiner Betriebsblindheit, die Lösung mit Vorzeichenwechsel zu erklären, übersehen, dass es auch einfacher geht: Da , aber , ist 1 eine Extremstelle von und damit eine Wendestelle von .
Also im Prinzip genau das, was Du bereits getan hast, um zu beweisen, dass dort eine Wendestelle liegt.
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah also war es doch richtig was ich gemacht habe?
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
ah also war es doch richtig was ich gemacht habe?


Das kommt drauf an, was Du meinst. Das Einsetzen von Null in die zweite Ableitung war falsch, weil Du ja bei 0 weder eine Extremstelle, noch eine Wendestelle vermuten kannst. Und f''(xE) gleich Null reicht auch nicht als Nachweis, dass Du keine Extremstelle hast. Du musst entweder VZW oder Wendepunktnachweis haben.
Nebenbei gesagt habe ich oben übersehen, dass der dir für 1 strenggenommen auch fehlt. Sorry... Aber wie gesagt, um nachzuweisen, dass 1 tatsächlich ein Wendepunkt UND kein Hochpunkt ist, musst Du nur hinzunehmen, dass f''' an der Stelle ungleich Null ist, dann hast Du beide Fliegen mit einer Klappe geschlagen. Hoffe, das hier erreicht Dich noch.
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