Symmetrie von ganzrationalen Funktionen (?)

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jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie von ganzrationalen Funktionen (?)
Hey Leutz,
ich muss eine Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen machen und habe dafür ein "Kochrezept" bekommen wie man sowas macht.
Aber bei zwei dingen blick ich irgendwie nicht so ganz durch:
1: Symmetrie: Sind alle auftretenden Exponenten von x gerade/ ungerade ,dann ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse/punktsymmetrisch zum Ursprung.Ansonsten ist der GRaph "nicht symmetrisch"
Bachte: f(x)=x^4+4x^2-2 ist achsensymmetrisch zur y-Achse (Das ist noch nachvollziehbar)
Aber: f(x)= x^3+4x-2 ist nicht symmetrisch! Denn 2=2x^0 hat einen geraden Exponenten. (das ist für mich auch noch logisch NUR woher haben die 2=2x^0???)

und:

Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen. Was muss ich da machen??

Wäre nett wenn mir das einer erklären könnte am besten vor donnerstag weil bis dahin muss ich meine mathe ha fertig haben. Danke
Thales Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie von ganzrationalen Funktionen (?)
Zitat:
Original von jen1986
Aber: f(x)= x^3+4x-2 ist nicht symmetrisch! Denn 2=2x^0 hat einen geraden Exponenten. (das ist für mich auch noch logisch NUR woher haben die 2=2x^0???)


Da der Graph von x³+4x-2 gegenüber dem Graphen x³-4x nur um zwei nach unten verschoben ist, ist er schon punktsymmetrisch - nur nicht zum Ursprung!
Und 2 = 2*x^0 kannst Du setzen, weil x^0 für jedes x, das nicht gleich Null ist, gleich 1 ist und sich somit auf die triviale Aussage 2 = 2*1 reduziert.
 
 
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »






jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ich verstehe...
ich hab jetzt als hausaufgabe die funktion: f(x)=x^3-3x^2+3x
diese ist also auch "nicht symmetrisch" weil ja nicht alle exponenten gerade bzw ungerade sind, stimmts?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

jup
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah coole sache , bin ich doch nicht so dumm *g*
kann mir auch noch wer das mit dem Verhalten einer ganzrationalen Funktion im Unendlichen erklären , weil da weiss ich irgendwie garnicht was ich da machen soll
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

du setzt für x große negative und postive werte ein und schaut wie die funktion sich verhält!
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

einfach irgendwelche zum beispiel x= -512 oder x= 55?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

naja man sagt ja man läßt die funktion gegen + - unendlich laufen. ( im grunde genommen läuft das hinaus wie du es schon vermutet hast) aber halt keine konkreten werte sondern + - unendlich

zb:

wenn du jetzt unendlich große positive werte einsetzt wird der y- wert ja auch unendlich groß genau das gleich passiert auch wenn du unendlich große negative werte einsetzt!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

achtung, einspruch

nur "groß" reicht nicht, beliebig groß ist das stichwort
du betrachtest deinen funktionswert, wenn x beliebig groß wird, d.h. gegen unendlich strebt (bel klein, minusunendlich)

dann wird bei ganzrationalen funktionen nur noch der teil mit dem größten eponenten wichtig.
soll heißen: f(x)=3x^5+2x^4+x^2+9990 hat das gleiche grenzverhalten wie g(x)=3x^5

das liegt daran, dass 3x^5 viel schneller gegen unendlich geht als alles, was x in einer kleineren potenz hat

in obigem falle wäre g(x) eine näherungskurve für x gegen (minus)unendlich, f selbst würde für x gegen unendlich gegen unendlich gehen.
für x gegen -unendlich würde f gegen -unendlich gehen.

allgemein musst du nur noch die VZ des "unendlichs" rausfinden, das sollte aber machbar sein?
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

öhm also wäre in meiner funktion: f(x) x^3-3x^2+3x nur x^3 wichtig weil das der grösste exponent ist ....
und das muss ich gegen unendlich laufen lassen?
ich kann mich daran errinnern das ich letztes jahr irgendwas gegen null laufen lassen musste und das das irgendwas mit lim (?) zu tun hat ...mhmmmm
das vz rausfinden ist machbar ,wenn ich genau weiss wie es geht *dum di dum*
argh ...ich verzweifel *lol*
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber pass auf, dass x^3 hier nur ganz wichtig wird, da es für x ->+- uendlich auch viel viel schneller größer wird.

du hast recht, da war etwas mit "lim" smile
probier dich dochmal zu erinnern und schreibs auf - wenns nicht ganz richt ist, ist nicht schlimm... einer meckert hier dann schon Augenzwinkern



Gruß, mercany



\\edit "falsch" gege "schlimm" ausgetauscht.... wollte ich garnicht sagen Hammer
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke ...
ich werd euch morgen die ganze kuvendiskussion online stellen *g* und dann habt ihr das grosse "vergnügen" an den stellen wo ich falsch gerechnet habe zu meckern *g*
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bins nochmal *g*
ich glaub mir ist gerade ein licht aufgegangen ....
wir haben irgendwas mit der "h-methode" gemacht und haben dann h gegen null laufen lassen um auf die erste ableitung einer funktion zu kommen ...könnte ich denn dann nicht auch h gegen unendlich laufen lassen um auf eine ableitung zu kommen?
wäre im konkreten fall:
f(x)= x^3
f`(x) = 3x^2

aber bringt mir das was?
waäääh ich komm da nicht weite *heul*
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
könnte ich denn dann nicht auch h gegen unendlich laufen lassen um auf eine ableitung zu kommen?


Um eine Ableitung geht's ja gar nicht. Es geht darum gegen welchen Wert f(x) strebt, wenn x gegen unendlich strebt.
Wenn der x-Wert betragsmäßig genügend groß wird, dann wird der Wert fast ausschließlich von der höchsten x-Potenz bestimmt. Bei z.B. einer Funktion mit als dem Summanden mit der höchsten x-Potenz müsstest Du jetzt erst einmal x gegen laufen lassen. Dabei siehst Du, dass der Wert von gegen unednlich strebt, einfach weil der Wert der Fünferpotenz immer größer wird, je größer x. ist nun eine ungerade Potenz, bei der bei Einsetzen eines negativen Werts auch ein negatives Ergebnis rauskommt. Wogegen strebt der Wert von f(x) demnach wohl, wenn man betragsmäßig immer größere negative Werte nimmt, ihn also gegen laufen lässt? fröhlich
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

hmhm also wenn man immer grössere negative werte nimmt?
hmhm ich würde vermuten ins unendlich kleine.... aber ich glaub da liegt ich bestimmt ziemlich daneben ...
ich kann mit all den fachbegriffen zur kurbendiskussion was anfangen hoch-/tiefpunkt etc weiss auch in der theorie wie man es rechnet ....nur in der praxis gehts dann irgendwie nicht mehr ...
ich soll die nullstellen berechnen ...und habs in meinen unterlagen nachgeschaut da haben wirs immer mit polynomdivision gemacht um eine quadratische funktion zu erhalten ...
im konkreten beispiel wäre es ja : f(x) x^3-3x^2+3x
nur brauch ich ja schon vorher ne nullstelle ....die bekomm ich aber irgendwie nich ...also hab ich (x^3-3x^2+3x)unglücklich x) gerechnet ....und dann mit dem ergebnis die p/q formel angewand unter der wurzel kam dann ein negatives ergebnis raus .....

aber mal zu den hoch/tiefpunkten:
diese werden ja aus der ersten ableitung gemacht also 3x^2-6x+3 muss ich dann die p/q formel anwenden und die beiden ergebnisse die daraus kommen sind dann die hoch und tiefpunkte?
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
hmhm also wenn man immer grössere negative werte nimmt?
hmhm ich würde vermuten ins unendlich kleine.... aber ich glaub da liegt ich bestimmt ziemlich daneben ...


Nein, denn wenn die Funktion gegen einen unendlich kleinen Wert streben würde, hieße das ja, sie strebt gegen Null. Vielleicht meinst Du aber auch das Richtige.
Wenn man (betragsmäßig) immer größere negative Werte nimmt, dann heißt das für das Beispiel ja, dass
1. Jeder Wert negativ ist, weil ungerade Potenz.
2. Betragsmäßig werden die Werte immer größer, denn gegenüber dem positiven x-Bereich ändert sich ja nur das Vorzeichen.
Demzufolge strebt die Funktion gegen .
Zur Kurvendiskussion:
Du hast jetzt mit eine Funktion gebracht, deren Nullstellen sich tatsächlich durch Ausklammern von x berchnen lassen. Ich hab's nicht nachgerechnet, aber wenn bei der p-q-Formel unter der Wurzel was negatives steht, dann hat sie halt nur eine Nullstelle - kann mal vorkommen. Augenzwinkern
Und die Hoch- und Tiefpunkte kannst Du nicht einfach mit f'(xE) = 0 berechnen. Dass die erste Ableitung 0 ist, ist keine hinreichende, sondern eine notwendige Bedingung für ein relatives Extremum. Jedes Ergebnis für xE könnte auch ein Sattelpunkt sein. Du musst deshalb entweder nachweisen, dass , oder dass f'(x) an der xE-Stelle das Vorzeichen wechselt.
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ich errinner mich *g*
ja gut also ich habs mit p/q formel gemacht und es kam tatsächlich ein negatives ergebnis unter der wurzel raus ...ergo gibts nur eine nullstelle und zwar x=0 oder? da ich ja dieses x ausgeklammert habe ...
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
ja gut also ich habs mit p/q formel gemacht und es kam tatsächlich ein negatives ergebnis unter der wurzel raus ...ergo gibts nur eine nullstelle und zwar x=0 oder? da ich ja dieses x ausgeklammert habe ...


Exakt! Freude
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ich bin schon gut *g* muss nur aus meinem kopf die sachen raussuchen *g*
jut dann werd ich mich mal drangeben und die kurvendiskussion machen und die dann später online stellen zum verbessern also wenn ich rausgefunden ahbe wie man ein wurzelzeichen hier eingibt ...
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

so dann werd ich jetzt mal den Spass online stellen:
Kurvendiskussion zu f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x

1. Symmetrie:
Die Funktion ist nicht symmetrisch , da siese nicht ausschliesslich gerade bzw ungerade exponenten aufweisen kann.

2. Verhalten für x ->+/- °°
f(x)= - °° , da x^3 einen ungeraden Exponenten besitzt.

3.Schnittpunkte mit den Achsen
a) Schnittpunkt mit y-Achse: f(0)= 0^3- 3*0^3+3*0
= 0
P(0/0) (kann das stimmen,weil dann wäre die Kurve ja doch punktsymmetrisch zum Ursprung?)

b) Schnittpunkte mit x-Achse:
0= x(x^2-3x+3)
p/q-formel:
x1/2= -3/2 +/-
= -3/2 +/-
Also nur eine Nullstelle x=0

4. relative Extrema
f`(x)= 3x^2-6x+3
0= x^2-2x+1
x1/2= 1 +/-
x1= 2,41 x2= -0,41

f``(x)= 6x-6
f``(2,41)=8,46 = Tiefpunkt
f``(-0,41)=-8,46 = Hochpunkt

f``(x)=6x-6
x= 6= Extremstelle

5. Wendepunkte
f``(x)=6x-6
6=6x
x=1= Wendepunkt

6. Wertemenge
Das versteh ich irgendwie nicht ,da steht ich solle aus 2. und 4. den kleinsten und grössten Wert bestimmen den f annimmt, aber wie?

DAnke schonmal im vorraus für eure Mühe
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

nein.

die funktion IST symetrisch, allerdings nicht zum ursprung.

das verhalten für x -> unendlich ist auch falsch, da f(x) für x -> +unendlich auch gegen +unendlich geht!
für x->minus unendlich stimmt das.

achtung: ungerader exponen -> wechselndes unendlichkeits verhalten !!!

die weiteren punkte schau ich mir gleich noch an und edditiere dann Augenzwinkern

servus

//edit: nullstelle ist richtig.

allerdings kann ich nicht nachvollziehen wie du auf extrema kommst!

die ableitung ist: [das springt einen doch an !!!]

doch sind das extrema, das müssteste mit der zweiten ableitung prüfen .. nein die ist auch null .. wendestelle bei 1 haste wieder richtig .. nur was bedeutet das, wenn eine stelle mit null steigung wendestelle ist ?
richtig- sattelpunkt Augenzwinkern

servus - etz wirklich ^^
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber ich hab in meinen unterlagen stehen :
Sind ALLE auftretenden Exponenten von x gerade/ungerade,dann ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse/punktsymmetrisch zum Ursprun. Ansonsten ist der Graph "nicht symmetrisch".
In meiner Funktion sind aber nicht alle Exponenten gerade bzw ungerade.

Das mit dem gegen Unendlich laufen peil ich net ...ist mir zu hoch =/
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »


und etz sag bitte nicht dass du die symetrie nicht siehst ?!?!

servus
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

dooch ich seh die symmetrie ...
und hast recht das mit dem extrema springt einen wirklich an ...
nur was sind dann die extrema? 3 und 1 oder wie *höh*?
aber ich kann dir sagen wie ich auf die extrema gekommen bin
ich hab einfach die dritte ableitung gemacht da kam sechs raus und das hab ich dann als extrema genommen
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

kleine ergänzung:

wenn du nach her, weiß net ob du es schon hattest, die bedingungen für die symmetrieeigenschaften anwendest, dann gilt dieser nur für die Achsensymmetrie bezüglich der y-achse und die Punktsymmetrie nur zum Ursprung!!

es gibt aber noch andere symmetrien, wie du sehen kannst, zu einem bestimmten Punkt P.
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ne das hatten wir noch nicht deswegen steht es auf meinem blatt bestimmt auch in anführungsstrichen ...
aber das ist jetzt sonst bis auf die extrema korrekt?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

zu 4.)
die berechnung der extrema sind falsch! pq-formel falsch angewand( vorzeichen beachten!!)
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
nur was sind dann die extrema? 3 und 1 oder wie *höh*?
aber ich kann dir sagen wie ich auf die extrema gekommen bin
ich hab einfach die dritte ableitung gemacht da kam sechs raus und das hab ich dann als extrema genommen


ok, zuerst zu dem unteren: du weisst ja dass man nicht zum richtigen ergebniss kommen kann, wenn ansatz und rechnung falsch ist Augenzwinkern

extrema sind nullstellen ungerader vielfachheit der ersten ableitung, d.h. mit vorzeichenwechsel!


zu der oberen frage:


ein produkt wird genau dann null wenn einer der faktoren null wird!
wann wird drei null ?
wann wird x-1 null ?

da haste du deine nullstellen Augenzwinkern

servus
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jen1986
Das mit dem gegen Unendlich laufen peil ich net ...ist mir zu hoch =/


Hm, scheint jetzt nicht Dein vorrangiges Interesse, aber ich versuch's noch mal zu erklären, vielleicht hilft es Dir ja doch weiter:
Lazarus hat doch oben den Graphen gepostet:

Wenn du auf diesem Graphen immer weiter nach rechts gehst (entspricht x gegen laufen zu lassen), dann steigst der Graph doch eindeutig ohne jede Obergrenze immer weiter hoch, oder? Und zwar eben weil das der Graph von auch tut - für den Betrag einer dritten Potenz gibt es schließlich keine Obergrenze. Also geht er in unendliche Höhen - er strebt gegen .
Wenn Du hingegen nach links gehst, fällt der Graph ohne jede Untergrenze immer weiter in den negativen Bereich - genau wie . Er strebt also gegen .
Ein anderes Beispiel für Verhalten einer Funktion im Unendlichen wäre .
wird immer kleiner, je größer du x werden lässt, es nähert sich immer mehr dem Wert 0 an. Entsprechend läuft gegen Null, wenn x gegen läuft, und, weil sich die Funktion auch Null annähert, wenn Du immer "größere" (vom Betrag her) negative Werte nimmst, dito das Verhalten wenn x gegen geht. Das siehst Du auch am Graphen:

Jetzt klar?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

anschaulicher (und damit besser) kann man des glaub ich nedmehr erklären @ thales ein ganz dickes: Freude und Gott
Big Laugh

servus
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

@ Lazarus: Danke. *michgeschmeicheltfühl*
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

*gg*
ich hab mir nämlich auch überlegt wie ich denn genau das erklären kann mit dem verhalten gegen große x beträge als dieser kommentar mit "zu hoch" kam, aber ich mir is spontan nix eingefallen ^^

daher meine reaktion Augenzwinkern

ich hoffe es hat auch unseren zuhelfenden was gebracht !

servus
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

jaaaa ich habs gepeilt hallelujah *g*
ganz dickes lob =)
aber nochmal zu meine kurvendiskussion bis auf dieses unendliche und die extrema war es richtig?!?
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

sieht eigentlich ganz nett aus!
hab's nur überflogen gelle. smile
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ganz nett? das ist ja erfreulich *g* =)
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit Krümmungsverhalten und Monotonie?

Ähm, vielleicht hab ichs einfach nicht gesehen, aber hast du den WP errechnet?
jen1986 Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst den wendepunkt?
jap der liegt bei 1 ...
krümmung und monotonie stand auf meinem "kochrezept" nicht drauf ..zur erklärung diese "kochrezepte" sind anleitungen wo drauf steht was ich so machen muss und auf dieser basis musste ich dann die kurvendiskussion machen ...
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

als wir das "damals" (damals ?? das war vor nedmal 4 wochen ^^) in der schule gemacht gehabt haben, war es uns auch nicht zur aufgabe auferlegt worden monotonie und krümmungsverhalten in den schulaufgaben zu bestimmen ..
weiß der kuckuck warum ?!

aber anscheinend sind diese dinge weniger wichtig *wunder*
zumindest für einige lehrer ..

nunja.
servus
Thales Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
aber anscheinend sind diese dinge weniger wichtig *wunder*
zumindest für einige lehrer ..


Nicht nur für die...
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