frage zu Determinante |
| 21.02.2008, 20:54 | hxh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| frage zu Determinante so ich hab mir gedacht um das schnell zu mache mit der determinanten 1 zeile mal 3 - letzte Zeile damit ich auf dem einen block nur nuller hab , damit wäre Det(A)*Det(B) = Det (C) = -14/3 Durch die 3 muss ich am ende Teilen weil ich das am Anfang gemacht habe ? |
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| 21.02.2008, 21:47 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, wenn Du mehrfache von Zeilen addierst/subtrahierst bleibt die Determinante invariant. Solltest Du aber auf die Idee kommen eine Zeile/Spalte mit einer Zahl a ungleich 0 zu multiplizieren ohne irgendetwas weiter zu machen dann musst Du aufpassen. |
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| 21.02.2008, 21:50 | hxh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok dann muss ich eben nach laplace entwickeln 
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| 21.02.2008, 22:25 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein wieso, deine Idee war schon richtig. Addiere das (-1/3) fache der letzten Zeile zur ersten Zeile. Diese Operation läßt die Determinante invariant, und du hast danach rechts oben eine 2x2-Nullmatrix, und kannst das machen, was du wahrscheinlich machen wolltest. |
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| 21.02.2008, 23:34 | hxh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ich irgendwo nachlesen welche Operationen meine Determinante invariant lassen ? Es interessiert mich halt nur, weil wir das in der Vorlesung nicht gemacht haben, dieser Weg mir aber weitaus eleganter erschien. Edit. achja wieso ist es ok das -1/3 fache von der letzten zeile zur 1 zu addieren und was ich davor machen wollte nicht |
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| 22.02.2008, 00:02 | outSchool | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Literatur
Gerd Fischer Lineare Algebra vieweg studium Grundkurs Mathematik Kapitel 4.2 Existenz und Eindeutigkeit der Determinante 
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| 22.02.2008, 00:02 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die einzige "elementare" Operation, die die Determinante invariant läßt. Ein beliebiges a-faches einer Zeile darf zu einer anderen(!) Zeile hinzuaddiert werden. Abstrakt folgt das unmittelbar aus der Definition der Determinante, wenn man diese als Abbildung definiert, die in jeder Zeile linear ist, und noch 2 weiter Eigenschaften hat, nämlich daß sich ihr Vorzeichen beim Vertauschen zweier Zeilen umdreht, und das die Determinante der Einheitsmatrix 1 ist. Man kann dann zeigen, daß eine solche Abbildung existiert und eindeutig bestimmt ist. Dieser Weg wird in Vorlesungen aber oft umgangen, stattdessen werden zur Motivation zuerst Determinanten von 2x2 und 3x3-Matrizen explizit definiert durch etwa die Formel von Sarrus, anschließend Permutationen behandelt, und dann Determinanten von nxn-Matrizen definiert durch die Leibniz-Formel. Dieser Zugang verschreckt zwar nicht ganz soviele Studenten, aber er versperrt auch ganz gehörig den Blick auf das wesentliche. Dazu kommt das Problem, daß viele Beweise, die in dem abstrakten Zugang 1-2-Zeiler sind, plötzlich wahnsinnig lang und technisch werden (was nur keiner merkt, weil sie einfach weggelassen werden). Edit: Natürlich kannst du auch nach Laplace entwickeln. Ich glaub in höheren Dimensionen ist es zwar (wenn nicht viele Nullen vorhanden sind) rechentechnisch unsinnig, weil es viel aufwendiger ist, als die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, aber in so kleinen Übungsaufgaben ist es ok. Wobei es eigentlich sowieso ein bekanntes Zitat gibt (ich weiß grad nicht von wem), welches besagt: "Mit Determinanten kann man vieles machen, nur eins sollte man nicht: sie ausrechnen." Leider kommt man in den Übungsaufgaben trotzdem meistens nicht um stupides rechnen drumrum, die Mühe sich intelligente Aufgaben mit Determinanten zu suchen, machen sich nur wenige Dozenten. |
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