Frage zu Matrix

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The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Matrix
Hallo,

heute haben wir eine Klausur geschrieben in Mathe.
Da kam die untenstehende Aufgabe dran. Und ich habe folgendermaßen arguemntiert:
Da für lambda=1 die ersten 2 Zeilen linear abhängig sind ist die Determinante der Matrix = 0 und daher hat das Lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Was meint ihr dazu ?

Ciao The_Unknown
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, für 1 ist das richtig.
mfG 20
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist dabei nur, dass doch nur für inhomogene lineare Gleichungssysteme gilt: Wenn det(A) = 0 -> unendlich viele Lösungen. Bei homogenen gilt doch eigentlich nur: Wenn det(A) ungleich 0 -> Es gibt nur die triviale Lösung. Da gibt es doch keine weiteren Regeln, oder ?

Also ganz allgemein meine Frage:
Wenn ich ein LGS habe mit einer Koeffizientenmatrix A. Liegen dann immer unendlich viele Lsg. vor, wenn det(A) = 0 ? Also auch, wenn es ein inhomogenes LGS ist ?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The_Unknown
Das Problem ist dabei nur, dass doch nur für inhomogene lineare Gleichungssysteme gilt: Wenn det(A) = 0 -> unendlich viele Lösungen.

Nein, das ist falsch. Wenn die Matrix invertierbar ist, gibt es genau eine Lösung, wenn sie nicht invertierbar ist, dann gibt es entweder keine Lösung oder unendlich viele.

Zitat:

Bei homogenen gilt doch eigentlich nur: Wenn det(A) ungleich 0 -> Es gibt nur die triviale Lösung. Da gibt es doch keine weiteren Regeln, oder ?

Das stimmt auch nicht, wenn sie nicht invertierbar ist, gibt es immer unendlich viele Lösungen.

Zitat:

Also ganz allgemein meine Frage:
Wenn ich ein LGS habe mit einer Koeffizientenmatrix A. Liegen dann immer unendlich viele Lsg. vor, wenn det(A) = 0 ? Also auch, wenn es ein inhomogenes LGS ist ?

Nein, siehe oben.
mfG 20
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du drauf, das in das Analysis-Forum zu stellen? verwirrt
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Wie kommst du drauf, das in das Analysis-Forum zu stellen? verwirrt

Hast recht , jetzt wo du es sagst Augenzwinkern War spät gestern.

Aber hier mal der Eintrag in meinem Tafelwerk, der mich verwirrt hat:
siehe Anhang
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The_Unknown
Aber hier mal der Eintrag in meinem Tafelwerk, der mich verwirrt hat:

Und was hat dich verwirrt?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich gesagt, nur beim homogenen hab ich noch was ergänzt, falsch war bei dir nur, dass es da nichts weiteres gibt.
Wenn die det von A gleich 0 ist, dann ist der Kern nicht leer, und der Kern ist ein Unterraum, hier also min 1-dim R-VR, und das sind unendlich viele...
mfG 20

PS: verschoben.
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

@ 20 Cent: Was denn für ein Kern ? unglücklich

Vereinfachen wir das ganze doch mal. Ich habe in der obigen Aufgabe ein homgones Gleichungssystem, richtig ?
Und da steht im Tafelwerk: det(A) ungleich 0 -> es gibt nur die triviale Lösung. Also gibt es für det(A) = 0 genau eine Lösung, oder ?

Wenn das LGS ein inhomogenes wäre, wäre ja alles klar. Aber das ist es leider nicht. Daher war ich verwirrt.

Eine Bitte: Es wäre super, wenn du das ganze nicht mit Linearen Räumen erklären würdest, die sind noch nicht behandelt worden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The_Unknown
Also gibt es für det(A) = 0 genau eine Lösung, oder ?

Nein, es gibt unendlich viele Lösungen, wenn det(A)=0 ist.

Angenommen es wäre x ungleich Nullvektor eine Lösung. Dann ist aber auch jedes Vielfache von x auch eine Lösung. Und damit kann eine Lösung, die nicht der Nullvektor ist, nicht die einzige Lösung sein. Nur wenn det(A) <> 0 ist, gibt es genau eine Lösung und das ist eben der Nullvektor.

Zur Klärung: Kern ist die Menge der Lösungen des homogenen GLS.
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

Aso. Alles klar so weit Wink
Also ist es egal, ob das LGS homogen oder nicht homogen ist, bei det(A)=0 gibts immer unendlich viele Lsg, ja ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, im inhomogenen Fall hat es entweder keine Lösung oder unendlich viele wenn die Determinante 0 wird
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

Also so:
Inhomogen:
det(A)=0 => Unendlich viele Lsg. oder keine Lösung
det(A) ungl. 0 => Genau 1 Lsg.
Homogen:
det(A)=0 => Unendlich viele Lsg.
det(A) ungleich 0 => Es gibt nur die triviale Lösung.
(Gar keine Lösung entfällt hier, da hier kein Störvektor b vorhanden ist, daher ist mindestens die triviale Lsg. eine Lösung)

Könnte man auch ein Kriterium zeigen, dass erfüllt sein muss, damit das ~homogene~ LGS genau 1 Lsg hat ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hast du doch bereits geschrieben.

Ein homogenes quadratisches Gleichungssystem hat genau dann genau 1 Lösung wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich 0 ist
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, da hat sie nur die triviale Lösung (x,y,z=0), ich meine aber eine "richtige" Lösung á la 1,3,7 oder so.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das gibt es nicht. Wenn es eine "richtige" Lösung gibt dann sind auch alle Vielfachen davon Lösung -> es gibt mehr als eine
The_Unknown Auf diesen Beitrag antworten »

Das erklärt alles smile Danke !
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