Niveauliniendarstellung f(x,y) = cos(x) * cos(y) |
| 23.03.2004, 23:16 | LarsB. | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Niveauliniendarstellung f(x,y) = cos(x) * cos(y) Ich muss für eine Tutoriumsaufgabe eine Niveaulinien-Darstellung einer Funktion mit 2 Variablen machen. Die funktion lautet : f(x,y) = cos(x) * cos(y) Die Niveaus sollen: -1, -0.5 , 0 , 0.5 , 1 sein. Ich suche jetzt also nach (x,y) Paaren, die den Funktionswert z=-1,-0.5... usw. ergeben. ( Handelt sich um eine Skalarfunktion R² -> R ) Ich habe nun angefnagen und eine Art Wertetabelle gemacht, also zB. für das erste Niveau -1, also wann ist cosx*cosy = -1 ? Das wäre zB. bei : x= 0, y=Pi oder x=2Pi , y=3Pi und auch, wenn ich x und y tausche. Wenn ich das jetzt in ein Kartesisches x,y system einzeichne, kann ich nur Kreuze machen und nicht etwa richtige Höhenlinien, da ich ja nur den Funktionswert für die oben genannten Punkte kenne. Bei funktionen wie f(x,y) = x²+y² ist es ja einfach, da es sich immer um kreisförmige Höhenlinien handelt, doch wie kann ich Höhenlinien für solche Funktion wie oben zeichnen? Ich habe schon probiert ob man mit Additionstheoremen die Formel auf eine einfache Art umformen kann, aber da ist nix umzuformen denke ich. ich hoffe auf Hilfe, vielen Dank. LarsB. |
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| 24.03.2004, 13:20 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du könntest doch einfach eine Funktion von R nach R plotten lassen, wenn du ein Niveau haben willst. Also etwa für das Niveau 1: Oder lieg ich da jetzt sehr falsch? Gruß vom Ben |
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| 24.03.2004, 13:51 | LarsB. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi ! Danke für die Antwort, jedoch weiss ich nicht genau, was du meinst. Du willst also die Funktion auf eine Variable reduzieren..... ahh.... ja das wäre eine Idee. Es soll praktisch eine Draufsicht auf das Dreidimensionale Bild der Funktion sein, d.h. man blickt von oben auf die x,y Ebene. Jetzt sollen für bestimmte Höhen ( Also für bestimmte Funktionswerte f(x,y) =z ), die linien/kurven eingezeichnet werden. Es sieht dann genauso aus, wie ein berg auf eine topographischen landkarte. ích glaube, die einzige möglichkeit ist also, möglichst viele Wertepaare herauszufinden, welche den Funktionswert z haben ( also zB. -1). Ich werde deinen Vorschlag mal durchdenken und ausprobieren, danke erstmal. |
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| 24.03.2004, 14:44 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Witz an Niveaulinien ist es genau, einen dreidimensionalen Graphen zweidmensional darzustellen. Das entspricht dann quasi der Reduktion auf eine Variable. Um keine Information zu verlieren muss man dann wissen, zu welchem Niveau die Linie ist. Anschaulich entspricht dies einem Schnitt des Funktionsgraphen mit einer Ebene, die parallel zur x-y-Ebene ist. Welche der parallelen Ebenen man dazu nehmen muss, wird durch das Niveau bestimmt. Plotten nennt man das "Zeichen-Lassen" des Funktionsgraphen durch den PC. Siehe etwa hier. Das du den Graphen nicht ohne weiteres selbst zeichnen kannst, sondern nur durch Wertepaare darstellen liegt hierbei an deiner "relativ komplizierten" Funktion. Gruß vom Ben Edit: Hab leider gerade festgestellt, dass Winplot den Graphen von leider nicht plottet. geht. Ist das keine Funktion mehr? Du kannst es dir mit dem Programm abe auch 3-dim. plotten lassen (siehe unten) und es zeichnet dir dann sogar Höhenlinien! Thx@Drödel, der mich mit dem angegebenen Thread auf das Programm gebracht hat. Ist dir damit geholfen oder wolltest du das nur im Prinzip wissen, wie man´s selber macht? |
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| 24.03.2004, 19:45 | LarsB. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi ! Erstmal vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Also im Prinzip weiss ich was es mit den Höhenlinien auf sich hat, nur bin ich nicht darrauf gekommen, mir die Funktion dann im zweidimensionalen plotten zu lassen. ich habe ebenfalls mit meinem Ti-89 die Funktion nicht darstellen können. Eigentlich muss ich die Höhenlinien selbst zeichnen, wir haben ein vorgefertigtes Diagramm bekommen, allerdings wüsste ich auch nicht, wie ich das mal eben per Hand machen soll. Wenn es sich um eine Funktion handelt, deren Höhenlinien eine bestimmte geometrische Form besitzen, wie zB. Kreise, dann ist es ja nicht so schwer, aber bei dieser Funktion.. Ich werd nochmal das Programm ausprobieren, welches du oben erwähnt hast. Danke Lars // EDIT Habe gerade mal Winplot ausprobiert, super Programm! Aber leider konnte ich ebenfalls feststellen, dass die Funktion nicht geplottet werden kann. Naja. |
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| 24.03.2004, 20:21 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, ich denke, dass man diese Funktion 2-dimensional nicht darstellen kann. Derive "vereinfacht"  formeln/acos.jpg zu formeln/acos2.jpgIst also dann komplex 
Im wahrsten Sinne des Wortes...Gruß, Thomas |
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| 24.03.2004, 21:18 | LarsB. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo ! Ja, das würde es natürlich erklären. Na dann hab ich ja echt ne schöne Aufgabe bekommen. Ich lass die Aufgabe erstmal sein und warte, was der prof sich denn als Lösung da so vorgestellt hat. ich Danke euch ! Lars |
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| 24.03.2004, 22:16 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Weil cos(x) den Wertebereich [-1;1] hat, hat die Funktion 1/cos(x) den Wertebereich R\]-1;1[. Der Arccos(x) hat als Definitionsbereich das Intervall [-1;1]. Man kann die Funktionen also nicht verketten (jedenfalls nicht im Reellen). |
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| 25.03.2004, 23:42 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ups... Danke martins1 :] Frage mich, wie man das ansonsten per Hand lösen soll... 
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| 26.03.2004, 20:30 | LarsB. | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin ! Haben die Aufgabe heute in der Vorlesung nochmal gelöst. Im Prinzip muss man das genauso machen, wie ich es angefangen habe. Man macht einfach Folgendes : ( Ist zwar nicht unbedingt mathematisch so ein eleganter Weg, aber anders geht es zu Fuß nicht) NIVEAULINIE bei z = -1 => cos(x)*cos(y) = -1 Wertetabelle : ( Nur die einfachsten Wertepaare ) Hier als Beispiel cos(x) = -1 und cos(y) = -1 : x= Pi, 3Pi y=Pi,3Pi Dann die Punkte ins Koordinatensystem. Macht man das gleiche für die Niveaus 0.5 und -0.5 lässt sich erahnen, das dies Kreise Werden. Exact die gleiche Aufgabe habe ich mit Lösungsgrafik hier gefuinden : Seite 5! http://www.math.unibas.ch/~walser/instit...113Aufgaben.pdf mfg Lars |
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