Permutation == Gruppe? |
| 23.02.2008, 18:53 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Permutation == Gruppe? ich bearbeitete gerade Permutationen, eher so in die Richtung "wie viele Permutationen gibt es, wie definiert sich das, was ist ein Zyklus, was ist eine Inversion" ... da las ich in einem Lehrbuch von Permutationsgruppen und da gibt es also irgendwie den Zusammenhang zu der einfachen algebraischen Struktur "Gruppe". Eine Gruppe, also eine Menge von Elementen und eine Verknüpfung, die assoziativ sein muß. Es muß neutrales und inverses Element geben und natürlich ist die ganze Sache abgeschlossen. Schön, das lässt sich beispielsweise bzgl. (Z,+) leicht einsehen. Aber bei Permutationen? Angenommen, wir haben eine 6-elementige Permutation P mit Elementen x (Zyklenschreibweise): (135)(26)(4). Also p(3)=5, p(4)=4 usw... Wie bringe ich das mit meiner abstrakten Gruppe in Einklang und inwiefern sind dann Permutationen assoziativ? Und z.B. das neutrale Element? Das bedeutet ja, "beliebiges Element verknüpft mit neutralem Element (und umgekehrt) = beliebiges Element". Ich stehe völlig auf dem Schlauch, was denn hier eigentlich meine Verknüpfung ist und wie ich das in Einklang bringen kann... Danke 
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| 23.02.2008, 19:06 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Permutation == Gruppe? Ach so, es geht um die Verknüpfung von PermutationEN, nicht nur um eine einzelne Permutation. Frage mich gerade nur noch, wie sich darin neutrales und inverses Element definieren... |
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| 23.02.2008, 19:09 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » |
Neutrales Element die Permutation, die nichts tut (die identische Abbildung) |
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| 23.02.2008, 19:18 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also um es zu sortieren: Elemente der Gruppe sind Permutationen. Gruppenoperation ist die Hintereinanderausführung der Permutationen. Wenn ich das recht sehe reden wir hier von der "symmetrischen Gruppe".. Ach so, neutrales Element ist dann die Permutation, die nichts tut, beim Zyklus (1,4,2,3) wäre das dann (1,2,3,4) und inverses Element ist dann (13)(24). Danke... |
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| 23.02.2008, 20:02 | Stefan_K | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Permutationsgruppen Hallo, eine Permutationsgruppe ist zunächst eine Gruppe von Permutationen und damit Untergruppe einer Symmetrischen Gruppe, nicht notwendig selbst eine Symmetrische Gruppe. Die Hintereinanderausführung als Gruppenoperation ist richtig, ebenso das neutrale Element. Das Inverse kannst Du Dir auch als Rückgängigmachen der Permutation vorstellen. Das Inverse eines Zykels ist ein Zykel mit umgekehrter Reihenfolge. Dein Beispiel ist also nicht korrekt, das Inverse von (1,4,2,3) ist (1,3,2,4), nicht (1,3)(2,4). Viele Grüße, Stefan |
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| 23.02.2008, 20:24 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, das klingt nach einer Inversion. Aber nach der reinen Lehre der Gruppentheorie: Muss das Inverse eines Zykels nicht das Element sein, das angewendet auf das Zykel das neutrale Element ergibt, um hier im Beispiel zu bleiben, Gesucht ist Inv., mit (1,4,2,3)*Inv = neutr. elem (1,2,3,4)? Mit Deiner Komposition bekomme ich aber (1,4,2,3)*(1,3,2,4) = (1)(2)(3)(4) Das wäre ja ein anderes neutrales Element als meines. |
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| 23.02.2008, 20:50 | Stefan_K | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Inverses in Permutationsgruppe Die identische Permutation, die nichts tut, kann man als schreiben, oder in Zykelschreibweise als (1), genausogut als (1)(2)(3)(4). Wenn Du wie oben id=(1,2,3,4) schreibst, kann man das als verkürzte Schreibweise für die obige zweizeilige Abbildungsdarstellung sehen, nicht als Zykelschreibweise. Der Zykel (1,2,3,4) ist nicht das neutrale Element. Stefan |
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| 23.02.2008, 21:19 | Wurstwasser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, dieses Mißverständnis hatte ich vermutet, ich hatte es auch irgendwie falsch berechnet, ich meinte den Zykel (1,2,3,4). Ich habe die (Deine) neutrale Permutation und eine Komposition nochmal als Matrix hingeschrieben und es ist ja logisch, daß sie nichts tut, wenn man sie auf eine beliebige Permutation anwendet, ich war ziemlich blind. Danke für die Klarstellung. |
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