BWM 2005 Runde 2

01.09.2005, 18:44

Bobo

BWM 2005 Runde 2

Zu den Aufgaben des BWM:

Zum geschlossenen Thread:
@Arthur Dent
Es war weder Aufgabenstellung, noch wäre es Lösung gewesen.
Es ging mir um Darstellungsweisen.
Ein Mathematiker der etwas beweisen möchte, fängt ja schließlich auch nicht für jeden Beweis wieder bei den Axionem an. Da solche Sachen im Normalfall nicht in der Schule durchgenommen werden, wollte ich mich eben informieren was für Wege und Mittel es gibt, an die Aufgabe ranzukommen, allein schon durch die Betrachungsweisen.
Da das eben nicht die Lösung der Aufgabe wäre, habe ich mir erlaubt danach zu Fragen. Außerdem gab es auch keine 100% Erfolgsgarantie so an die Lösung zu kommen (auch wenn ich es für wahrscheinlich halte). Weiterhin ist die Weitergabe vor dem 1.September nicht zulässig. Da diese Grenze schon vorbei, ist es zulässig die Aufgabenstellungen zu veröffentlichen.
Insofern halte ich es für keinen Fehler zu sagen, dass es für den BWM war, da um diese Zeit die Poststellen anfangen zu schließen und man in diesen wenigen Minuten und den spärlichen Hinweisen noch eine Lösung aus dem Boden stampfen kann.
(Trotzdem Danke für die Hilfe; Ich würde trotzdem gern noch mehr über diesen Algorithmus erfahren)

Hier die Aufgaben des BWM 2005 Runde 2:

Aufgabe 1:
Zwei Spieler A und B haben auf einem 100x100 - Schachbrett je einen Stein.
Sie ziehen abwechselnd ihren Stein, wobei jeder Zug aus einem Schritt
senkrecht oder waagerecht auf ein Nachbarfeld besteht und A den ersten Zug
ausführt. Zu beginn liegt der Stein von A in der linken unteren Ecke und der
Stein von B in der rechten unteren Ecke.
Man beweise: Der Spieler A kann unabhängig von der Spielzügen des Spielers B
stets nach endlich vielen Zügen das Feld erreichen, auf dem gerade der Stein
von B steht.

Aufgabe 2:
Es sei x eine rationale Zahl.
Man beweise: Es gibt nur endlich viele Tripel (a,b,c) ganzer zahlen mit a<0
und b²-4ac = 5, für die ax²+bx+c positiv ist.

Aufgabe 3:
Zwei Kreise $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ schneiden sich in A und B. Eine erste Gerade durch B
schneide $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ in C und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ in E. Eine zweite Gerade durch B schneide $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ in D
und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ in F; dabei liege B zwischen den Punkten C und E sowie zwischen den
Punkten D unf F. Schließlich seien M und N die Mittelpunkte der Strecken CE
und DF. Man beweise: die Dreiecke ACD, AEF und AMN sind zueinander ähnlich.

Aufgabe 4:
Es sei A(n) die maximale Anzahl der Selbstüberschneidungen von geschlossenen
Streckenzügen $\begin{eqnarray*} P_1 P_2 ... P_n P_1 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ ), bei denen keine der
Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Man beweise:
a) $\begin{eqnarray*} A(n)= \frac {n(n-3)} 2 \end{eqnarray*}$ , falls n ungerade
und
b) $\begin{eqnarray*} A(n)= \frac {n(n-4)} 2 +1 \end{eqnarray*}$ , falls n gerade ist.

Erläuterung: Eine Selbstüberschneidung ist ein Schnitt zweier nicht
benachbarter Strecken

viel Spaß beim Tüfteln
Ich bin auf eure Lösungen gespannt

Gruß
Bobo

01.09.2005, 20:28

BWM 2005 Runde 2

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