geodätisch

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25.02.2008, 23:00

bluemchen

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geodätisch

ich erlaube mir gleich noch ne frage zu stellen smile

hoffe das ist okay smile

also:

Ein metrischer Raum (X,d) hat die Mittelpunkteigenschaft, wenn: $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in X \exists m \in X: d(x,m)=1/2 d(x,y) = d(m,y) \end{eqnarray*}$

Zeige, dass ein vollständiger metrischer raum mit der Mittelpunkteigenschaft geodätisch ist.

wäre toll wenn mir geholfen würde smile

26.02.2008, 08:01

bluemchen

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RE: geodätisch
ich sollte vielleicht noch anfügen, was geodätisch heisst:

(X,d) heisst geodätischer metrischer Raum, wenn es für je zwei Punkte x,y auis X eine Kürzeste von x nach y gibt.

(Eine Kürzeste (von x nach y) ist eine Abbildung c: [a,b]->X (von x nach y) s.d. es ein lamda>0 gibt mit d(c(t),c(t'))=lamda|t-t'|

26.02.2008, 08:08

Dual Space

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RE: geodätisch
In welcher Vorlesung begnet man denn diesen abenteuerlichen Vokabeln?

Sicherlich habt ihr die Eigenschaft "geodätisch" auch charakterisiert. Also welche Mittel wurden euch an die Hand gebenen um "Geodätität" (heißt das Substantiv so?) nachzuweisen?

26.02.2008, 09:10

tmo

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ich nehme mal stark an, dass $\begin{eqnarray*} c(a)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c(b)=y \end{eqnarray*}$ gefordert ist, oder?

wie wärs dann hiermit:

betrachte zu $\begin{eqnarray*} z \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} g(x)=x-z \end{eqnarray*}$ mit der nullstelle z.
Nun konstruiere man eine Folge $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ mit hilfe des Bisektionsverfahren, die gegen die nullstelle von g, also z, konvergiert. Man "merke" sich dabei, die Ergebnisse der Fallunterscheidung, d.h. welches von den zwei Intervallen man in jedem Schritt halbiert hat.
Nun übertrage man die Folge $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ auf eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n \in X \end{eqnarray*}$ und dem Startwert $\begin{eqnarray*} a_1=m \end{eqnarray*}$ (Mittelpunkt von x und y), indem man die Ergebnisse der Fallunterscheidung überträgt. D.h. wenn man z.b. im ersten Schritt mit dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,(a+b)/2] \end{eqnarray*}$ weitergemacht hat, so ist $\begin{eqnarray*} a_2 = mid(x,m) \end{eqnarray*}$ (Mittelpunkt von x und m). Hat man allerdings mit $\begin{eqnarray*} [(a+b)/2,b] \end{eqnarray*}$ weitergemacht, dann wähle $\begin{eqnarray*} a_2=mid(m,y) \end{eqnarray*}$

letztendlich ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge, konvergiert also (die vollständigkeit ist wohl nicht umsonst als bedingung angegeben Augenzwinkern

). Nun definiere $\begin{eqnarray*} c(z)=\lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung müsste eigentlich die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} d(c(t),c(t')) = \lambda |t-t'| \end{eqnarray*}$ mit geeignetem lambda für alle $\begin{eqnarray*} t,t' \in [a,b] \end{eqnarray*}$ erfüllen. Der Beweis dafür bleibt dir überlassen.

PS: geht das eigentlich formal so? von der idee her?

edit: war natürlich blöd, die zahl y zu nennen. habe sie in z umgetauft.

26.02.2008, 19:02

bluemchen

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hallo... vielen dank für all eure hilfe smile

ich komme jedoch nicht ganz draus smile

du konstruierst ja hier eine folge... zeigst du nun nicht nur, dass das gefragte für einen bestimmten vollständigen raum gilt?
ich muss ja zeigen dass es für jeden geht...

hm, vielleicht versteh ichs auch einfach nicht smile

26.02.2008, 19:09

tmo

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diese folge kann man in jedem vollständigen Raum, der die Mittelpunkteigenschaft besitzt, konstruieren.

ich habe ja an X nirgends irgendwelche Bedinungen gestellt, außer eben die Vollständigkeit und die Mittelpunkteigenschaft. Deshalb gilt das auch für jeden solchen metrischen Raum.

26.02.2008, 20:43

bluemchen

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hallo...

ich konnte nun den ersten teil nachvollziehen smile

wirklich gute idee... weiss jedoch nicht genau, wie ich nachweisen soll dass nun gilt d(c(t),d(t'))=lamda|t-t'| unglücklich

also ich muss ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d(lim a_n, lim a'_n)= \lambda \mid z-z' \mid \end{eqnarray*}$

hmm... ich studier mal noch n bisschen an dem rum smile

26.02.2008, 20:50

tmo

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es wäre vielleicht ganz gut, wenn du dieses lambda zunächst explizit bestimmst, indem du mal den spezialfall $\begin{eqnarray*} z = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z'=b \end{eqnarray*}$ betrachtest. dann ist der beweis vielleicht einfacher.

26.02.2008, 21:03

bluemchen

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ach ich steh wirklich aufem schlauch unglücklich

kann ich sagen, dass lim a_n nach a+z konvergiert?

26.02.2008, 21:41

tmo

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nein. das ist falsch und macht auch gar keinen sinn, wegen $\begin{eqnarray*} a_n \in X \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} a+z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
ich verrate dir mal den trick.

es lässt sich schon beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} d(a_n,a'_n)= \lambda |z_n-z'_n| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. hierbei sind $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z'_n \end{eqnarray*}$ gegen z bzw. z' konvergente reelle zahlenfolgen und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a'_n \end{eqnarray*}$ die folgen in X die daraus wie in meinem ersten post beschrieben hervorgehen.

dann gilt es natürlich auch für den grenzübergang.

dabei kannst du noch folgenden trick anwenden: man kann natürlich von $\begin{eqnarray*} z \neq z' \end{eqnarray*}$ ausgehen (der andere fall ist trivial), sodass $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z'_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ verschieden sind.
Deswegen kann man den Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{d(a_n,a'_n)}{|z_n-z'_n|} \end{eqnarray*}$ betrachten und zeigen, dass dieser konstant ist. (Welchen Wert nimmt er an?)

26.02.2008, 22:04

bluemchen

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hm, 1?

26.02.2008, 22:06

tmo

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das wäre ein spezialfall.

wähle doch mal $\begin{eqnarray*} z=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z'=b \end{eqnarray*}$ .

dann erhältst du den wert des quotienten.

26.02.2008, 22:10

bluemchen

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hm, ist einfach zu spät für mich... 1/(b-a)? ist nur noch ratespiel unglücklich

26.02.2008, 22:11

tmo

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Zitat:

Original von tmo
ich nehme mal stark an, dass $\begin{eqnarray*} c(a)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c(b)=y \end{eqnarray*}$ gefordert ist, oder?

das gilt doch weiterhin.

26.02.2008, 22:21

bluemchen

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hm, ich muss doch d(lim a_n, lim a'_n)/|z_n-z'_n| berechnen, oder
und lim a_n =c(z). Dann ist d(c(z), c(z'))/|a-b'| ? oder was?

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