Grenzwert bestimmen...

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NegaH Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen...
gegeben seien die konvergenten folgen: (ich verstehe vieles nicht, aber ich frage hier die aufgaben nach und nach damit ich nicht durcheinander komme)

gesucht ist jeweils der grenzwert, also G/g:

Der Nenner ist so richtig, aber im Zähler soll es 4 hoch (n+1) heißen. Kriege das in Latex nicht so formatiert, wie ich es möchte. unglücklich

Lösung: Ich müsste das n ausklammern... aber wie?

Wie sieht der Lösungsansatz aus?
Ps.: Bitte rechnet die Aufgabe nicht komplett. Ich muss / will es lernen. Thx



edit by jochen:
latex wie gewünscht korrigiert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Tip: Kürze den ganzen Bruch durch , auch wenn im Nenner dadurch wieder ein Bruch entsteht.

Exponenten bei Latex in geschweifte Klammern setzen, z.B. ...^{n+1}
NegaH Auf diesen Beitrag antworten »

Super, erhalte ich dann als Grenzwert 4?

Vielen Dank schonmal... smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, richtig! Freude

Gruß MSS
NegaH Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, bei diesen Aufgaben komme ich auch nicht weiter. Ich glaube, das wir das so noch nicht im U-Richt hatten, denn der Lehrer hatte diese Aufgaben überspungen. Würde trotzdem wissen, wie ich das löse. smile

a)

Hier habe ich G=1 raus.

b)

Hier habe ich G=1 raus.

c)

Nix. Muss das Wurzelzeichen weg? Wie? unglücklich

d)
Nix. Muss das Wurzelzeichen weg? Wie? unglücklich

Wie immer keine kompletten Lösungswege. smile

Daaankeee!!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NegaH
a)

Hier habe ich G=1 raus.

Richtig, bis auf das Vorzeichen.

Zitat:
Original von NegaH
b)

Hier habe ich G=1 raus.

Nicht richtig. Kennst du die e-Funktion?

Zitat:
Original von NegaH
c)

Nix. Muss das Wurzelzeichen weg? Wie? unglücklich

Erweitere so, dass du im Zähler eine dritte Binomische Formel stehen hast. Das entfernt die Wurzeln zwar nicht (sie stehen dann im Nenner), führt aber trotzdem zum Ergebnis.

Zitat:
Original von NegaH
d)
Nix. Muss das Wurzelzeichen weg? Wie? unglücklich

Schreib nicht als Wurzel, sondern als Potenz. Schreibe daraufhin den Term so um, dass du gegen null und nicht gegen unendlich laufen lässt.
 
 
NegaH Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) ich bin so vorgegangen:



wo ist der denkfehler?

zu b) ja, diesen komischen euler.. icht dachte nur wenn n immer größer wird, dann wird 1/n zu null und ist somit nicht mehr zu beachten. würde heißen in der klammer gilt nur noch 1 und 1 ^irgendetwas ist immer 1. falsche interpretation?

zu c) und d) damit bin ich leider überfordert. peinlich, aber naja. denkstütze? danke smile Edit: Müssen hier die Logarithmengesetze angewandt werden?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NegaH
zu a) ich bin so vorgegangen:



wo ist der denkfehler?



Zitat:
Original von NegaH
zu b) ja, diesen komischen euler.. icht dachte nur wenn n immer größer wird, dann wird 1/n zu null und ist somit nicht mehr zu beachten. würde heißen in der klammer gilt nur noch 1 und 1 ^irgendetwas ist immer 1. falsche interpretation?

Ja, denn die höher werdende Potenz fällt hier auch ins Gewicht. Ich sehe allerdings nicht, wie man jetzt ganz schnell zeigen sollte, dass

.

Ich vermute, da du die e-Funktion kennst, sollst du diesen Grenzwert so oder so kennen. Meines Wissens wird er in der Schule immer so hergeleitet:

sei bekannt. Für gilt also .



Zitat:
Original von NegaH
zu c) und d) damit bin ich leider überfordert. peinlich, aber naja. denkstütze? danke smile Edit: Müssen hier die Logarithmengesetze angewandt werden?




JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von NegaH
zu a) ich bin so vorgegangen:



wo ist der denkfehler?


sorry sqrt, dass halte ich für ein gerücht
negaHs lösung war hier richtig, nach grenzwertbetrachtung
(1-1/n) <> -(1+1/n)

mfg jochen



edit: und bei deinem beweis mit der eulerschen zahl ist auch einiges durcheinander gekommen
schau da noch mal drüber in ruhe
Sephiroth Auf diesen Beitrag antworten »

@ sqrt2





passt scho

weil




\edit na ja zu spät
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)

...

Abgesehen davon, dass du am Ende ein ^h vergessen hast, ist das da oben von der mathematisch exakten Sicht her grausam. unglücklich
Das unten bringt einen auch nicht weiter, man hat immer noch den unbestimmten Ausdruck .
@NegaH
Bei hast du ebenfalls einen unbestimmten Ausdruck, nämlich . Die Basis geht zwar gegen 1, aber du potenzierst ja auch immer mit höheren Exponenten, deswegen kannst du das nicht so machen.

Gruß MSS
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
negaHs lösung war hier richtig, nach grenzwertbetrachtung
(1-1/n) <> -(1+1/n)


Ist natürlich richtig...

Zitat:
Original von LOED
edit: und bei deinem beweis mit der eulerschen zahl ist auch einiges durcheinander gekommen


Das sehe ich anders, bis auf das fehlende "hoch h" und eine null statt einer eins oben. Von "einiges" würde ich da nicht sprechen.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Abgesehen davon, dass du am Ende ein ^h vergessen hast, ist das da oben von der mathematisch exakten Sicht her grausam. unglücklich


Inwiefern? Ich sehe da nur ganz einfach die Grenzwertsätze angewendet. Die Vorgehensweise hier ist auch identisch damit, wie ich es in der Schule gelernt habe.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Das unten bringt einen auch nicht weiter, man hat immer noch den unbestimmten Ausdruck .


Mensch, ein Schritt weiter: . ist bei mir definiert. Ganz vorgeben wollte ich es ja nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur vorgeführten Herleitung von b) fehlen mir die Worte ...
Und zu d) siehe hier.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Erzählt eure Bedenken mal bitte meinem Mathelehrer. Und vor allen Dingen, klärt mich darüber auf, was so schrecklich falsch an der Sache sein soll...

Dass es etwas unschön ist, die gesamte Gleichung mit h zu potenzieren, sehe ich auch, aber wirklich falsch kann es zumindest in diesem Fall nicht sein, denn das richtige Ergebnis erhält man durch diesen Schritt ja.
NegaH Auf diesen Beitrag antworten »

Was meint ihr hierzu?

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht gut. Du hast angewendet

,

was vollkommen falsch ist!! unglücklich

@sqrt(2)
1. Der Schritt von der Zeile



auf



ist falsch, auch wenn die letzte Gleichung richtig ist. Welchen Grenzwertsatz wendest du da denn bitte an? verwirrt

2. ist natürlich





vollkommen unkorrekt. Das geht einfach nicht. Du kannst nicht einfach das ganze mit potenzieren und das dann in den Limes ziehen.

.

Ich kann das nicht so gut erklären wie Leopold es könnte (Augenzwinkern ), aber ich kann sagen, dass es keinesfalls geht. Welchen Grenzwertsatz hast du denn dMn diesmal angewendet?

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NegaH

großes schütteln bekomme ich da unglücklich
du hast doch schon den tipp bekommen, erweitere das ganze wie sqrt oben gesagt hat


achja und wenn du den limes hast, musst du den nach jedem gleichheitszeichen wieder hinschreiben, bis du ihn ausgerechnet hast

mfg jochen



edit: latextag vergessen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Diese Gleichung ist sicher richtig, denn beide Seiten haben den Wert 1. Und nach dem Verfahren von sqrt(2) würde jetzt folgen:



Da die rechte Seite aber bekanntermaßen ergibt, folgt somit: .

Damit ist das große Geheimnis um die Zahl endgültig gelüftet. Euler hat sich um 0,7182818... verrechnet, immerhin ein Fehler von ca. 35,9 %. Gut, daß wir den alten Schwindler endlich entlarvt haben ...
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Der Schritt von der Zeile



auf



ist falsch, auch wenn die letzte Gleichung richtig ist. Welchen Grenzwertsatz wendest du da denn bitte an? verwirrt





@Leopold: Gut, das ist klar. Werde meinem Mathelehrer mal diesbezüglich auf die Finger hauen (wobei es mir natürlich selber auch hätte auffallen können).
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du so nicht aufspalten, weil das dann einen 0/0 Ausdruck
darstellt und schon garnicht mit dem Nenner multiplizieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
@Leopold: Gut, das ist klar. Werde meinem Mathelehrer mal diesbezüglich auf die Finger hauen (wobei es mir natürlich selber auch hätte auffallen können).


Ich hoffe um der Ehre deines Lehrers willen, daß du da etwas mißverstanden hast. Denn sollte er es wirklich so gemacht haben, wie du es ausgeführt hast, zeugte das nur davon, daß er eigentlich nicht verstanden hat, was er da an Differentialrechnung unterrichtet ...
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Das kannst du so nicht aufspalten, weil das dann einen 0/0 Ausdruck
darstellt und schon garnicht mit dem Nenner multiplizieren.

Agreed.

Zitat:
Original von Leopold
Ich hoffe um der Ehre deines Lehrers willen, daß du da etwas mißverstanden hast. Denn sollte er es wirklich so gemacht haben, wie du es ausgeführt hast, zeugte das nur davon, daß er eigentlich nicht verstanden hat, was er da an Differentialrechnung unterrichtet ...

Ich habe gerade meine Aufzeichnungen überprüft, von denen ich weiß, dass ich sie in diesem Fall direkt von der Tafel abgeschrieben habe. Mein Lehrer benutzt statt der Gleichheitszeichen konsequent Ungefährzeichen, die Vorgehensweise ist aber identisch. Ob die Ungefährzeichen ausdrücken, dass er das Verfahren selbst für unkorrekt hält (warum unterrichtet er es dann?), wage ich auch zu bezweifeln, da sein Kommentar zum Ungleichheitszeichen inhaltlich "wegen der Grenzwertbildung, weil unendlich nie erreicht wird" gleichkam...

An anderer Stelle habe ich schon einmal erwähnt, dass das Bilden von Grenzwerten selbst in Schleswig-Holstein kein eigener Gegenstand im Lehrplan zu sein scheint, sondern eher implizit eingeführt wird (der Begriff "Grenzwert" selbst wurde nie definiert). Vielleicht fehlt ihm die Übung...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Ob die Ungefährzeichen ausdrücken, dass er das Verfahren selbst für unkorrekt hält (warum unterrichtet er es dann?), wage ich auch zu bezweifeln, da sein Kommentar zum Ungleichheitszeichen inhaltlich "wegen der Grenzwertbildung, weil unendlich nie erreicht wird" gleichkam...



na, wenn das stimmt hätte er es wirklich nicht verstanden.
Dass es an fehlender Übung liegen könnte, glaube ich kaum,
denn immerhin muss er ja auch sein Examen mal gemacht haben.

Ich denke eher, dass irgendwelche Missverständnisse vorliegen.
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