Produktregel mit 3 Faktoren

07.09.2005, 17:22

Cosmo

Produktregel mit 3 Faktoren

Hi!

Ich hab da mal wieder eine ganz grundlegende Frage *seufz*

Um sie zu stellen, wähle ich ein einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x^3 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$
(Ja, mir ist klar, dass dies $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ ist und somit schnell ohne jede Produktregel abzuleiten ist, aber es geht mir ums Prinzip :-)
Also:

u= $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$
u'= $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$
v= $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$
v'= $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$

f'=u'v + v'u
f' = $\begin{eqnarray*} 3x^2 \cdot x^2 + 2x \cdot x^3 \end{eqnarray*}$
So, blabla, dass kann man dann zusammen fassen und dann kommt man auf die (von vornerein ersichtlichen) $\begin{eqnarray*} 5x^4 \end{eqnarray*}$

Nun zur eigentlichen Frage:

Wie löse ich:
$\begin{eqnarray*} x^3 \cdot x^2 \cdot x \end{eqnarray*}$

(Nochmal: Ich weiß, dass es $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} 6x^5 \end{eqnarray*}$ ist, möchte aber Verstehen, wie ich die Produktregel mit 3 Faktoren anwende :-)

Schönen Gruß
Cosmo

07.09.2005, 17:30

Thales

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RE: Produktregel mit 3 Faktoren

Zitat:

Original von Cosmo
$\begin{eqnarray*} x^3 \cdot x^2 \cdot x \end{eqnarray*}$

Du könntest doch fürs Erste setzen:
$\begin{eqnarray*} u(x) = x^3 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$
Diese Funktion kannst Du mit der Produktregel ableiten, und
$\begin{eqnarray*} v(x) = x \end{eqnarray*}$
völlig ohne. Was folgt daraus für die Ableitung von deiner Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x) =u(x) \cdot v(x) \end{eqnarray*}$ mit erneuter Anwendung der Produktregel?

07.09.2005, 17:31

derkoch

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$\begin{eqnarray*} f(x) = u \cdot v \cdot w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) =u' v w+ u v' w+ u v w' \end{eqnarray*}$

07.09.2005, 17:31

mercany

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Ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} f(x) = uvw \Rightarrow f'(x) = u'vw + uv'w + uvw' \end{eqnarray*}$

Ansonsten geht natürlich auch immer "ausmultiplizieren"!

Gruß, mercany

07.09.2005, 17:33

Toty

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Du betrachtest die ersten beiden ( oder die letzten beiden ) zunächst als einen Faktor und wendest die Produktregel wie gelernt an. Also:

((uv)w)´=(uv)´w+(uv)w`=(u´v+uv´)w+(uv)w´

07.09.2005, 17:39

Cosmo

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Hey, danke für die ganzen Antworten.

Das ist ja einfach :-)

Auf die Idee mit dem Zusammenfassen (u=x²*x) kam ich nicht, das andere kannte ich nicht.

Gilt das generell?

Also auch

$\begin{eqnarray*} f=uvwo \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f=u'vwo+uv'wo+uvw'o+uvwo' \end{eqnarray*}$ ?

07.09.2005, 17:51

mercany

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jupp, da auch! und für noch mehr auch.... immer das gleiche prinzip!

07.09.2005, 18:16

JochenX

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übrigens mit induktion (relativ leicht) zeigbar
wer möchte, versuche sich mal daran

mfg jochen

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