Lineare Algebra (Zentrum von GL(n,F)) |
| 08.09.2005, 15:53 | Pablo29 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Algebra (Zentrum von GL(n,F)) Die folgende Aufgabe habe ich in einem Buch für Lineare Algebra von Kowalsky gefunden. Wer kann mir helfen? Mein unten stehender Lösungsweg deckt sich nicht mit dem in dem Buch. Ist er deswegen falsch? Aufgabe: Unter dem Zentrum einer Gruppe versteht man die Menge aller Gruppenelemente z, die mit jedem anderen Gruppenelement vertauschbar sind, die also die Gleichung az = za für alle a Element G erfüllen. Zeigen Sie: Das Zentrum der linearen Gruppe GL(n,F) besteht genau aus allen n-reihigen invertierbaren Matrizen der Form En * c mit c ungleich 0. Beweis: Sei Z Element des Zentrums von GL(n,F). Dann gibt es ein Z-1 mit Z * Z-1 = En. Sei ferner A Element von GL(n,F) mit A = A² (A,A) wobei A die Matrix des Basiswechsels von A nach B unter ² ist und A und B zwei gegebene Basen von V sind. Nach Definition der Ähnlichkeit zweier n×n-Matrizen und der Definition des Zentrums gilt insbesondere folgendes: A²(A,A) = En * A²(A,A) = Z * Z-1 * A²(A,A) = = Z-1*A²(A,A)*Z = = Aid(A,A) * A²(A,A) * Aid(A,A) = = En * A²(A,A) * En Daraus folgt Z = En Da En * c * A = A * En * c= A * c mit c Element von F ist, ist das Zentrum von GL(n,F) = { En * c }. |
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| 08.09.2005, 18:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte verwende LATEX. Leider kann man deine Symbolik nicht verstehen. Was soll zum Beispiel bedeuten? Wenn invertierbar ist, dann folgt aus doch sofort . |
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| 08.09.2005, 18:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
??? Was ist bei dir A², ist das wie gewöhnlich A*A ? Was ist (A,A) ? ... Und überhaupt ist dein Beitrag nahezu unlesbar. Verwende mal das LaTeX des hiesigen Formeleditors, mit Z-1 meinst du z.B. die Inverse und und und. EDIT: Da habe ich wohl etwas zu lange für meinen Beitrag gebraucht. Ein Trost, dass Leopold die Symbolik auch nicht versteht. |
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