Termbestimmung eines Graphen (und umgekehrt)

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Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »
Termbestimmung eines Graphen (und umgekehrt)
Hallo,

hab mal wieder ein paar Probleme mit Mathe und dieses mal ist es der Graph.

Hier habe ich mal eine Probekllausur bei der man bei einer Aufgabe einen Term geben soll der zum Graphen gehört (Aufgabe 3).

Die Nullstellen und der Grad des Graphen kann ich schon ermittlen, aber ich glaube nicht das es hier so viel hilft. Ich weiß auch nicht was man mit den Koordinaten machen kann.
Kann man da vielleicht noch mehr ablesen? Welche Rechnungen muss dafür machen?

Ich brauche echt hilfe dafür und hoffe auf gute Erklärungen (keine kommentarlose Lösungen).

Danke.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termbestimmung eines Graphen (und umgekehrt)
Stelle die Aufgabe hier nicht als Link ein. Bitte abtippen, mit dem Formeleditor (Latex). Danke.

Wie kann man Formeln schreiben?
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termbestimmung eines Graphen (und umgekehrt)
Zitat:
Original von tigerbine
Stelle die Aufgabe hier nicht als Link ein. Bitte abtippen, mit dem Formeleditor (Latex). Danke.

Öööhm wo liegt jetzt der Sinn daran? Wenn ich den Term für Graphen wüsste, dann würde ich doch hier nicht fragen wie das geht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Termbestimmung eines Graphen (und umgekehrt)
Ich meine Keine externen Links. Die gehen mit der Zeit verloren. Und wenn in Aufgaben Formeln sind, dann die hier mit latex schreiben

Zitat:
Geben Sie einen möglichst präzisen Term für die Funktionen mit den abgebildeten
Graphen an. Wandeln Sie den Term dann um in ein Polynom. Kontrollieren Sie Ihre
Ergebnisse auch mit dem GTR.


Den Term in ein Polynom umwandeln, finde ich seltsam die Formulierung. Sollen dass nun Polynome sein oder nicht. However, wir nähern sie halt mal durch selbige an. Der Maximalgrad hängt von der Anzahl der Informationen ab, die wir herauslesen können.

Graph 1:











Weiter können wir aus der Skizze noch ablesen:







Nun löst man ein LGS für den Ansatz

Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm dieses f' ist ja glaube ich so eine Ableitung und sowas hatten wir noch nicht in der Schule (=keine Ahnung davon). Wenns aber leichter und schneller geht als die Alternative (die ich gleich zeige), dann würde ich mich gerne dabei aufklären lassen.

In der Schule habe wir als Beispiel wie wir das machen sollen den Graphen der Funktion genommen. (kann leider kein Bild davon zeien, aber ihr könnt euch den Graphen auf den Taschenrechenr oder sonstwie anucken)

Das erste (und einzige) was mir bei den Graphen aufielen waren das:
- 3-fache Nullstelle bei 0
- einfache Nullstelle bei 3
- absoluter Anteil ist 0
- Funktion 4-Grades und da der Graph von oben kommt
- Koeffizient von x^4 ist positiv, da der Graph von oben kommt
- Tiefpunktkoordinaten 2/-4

Der Lehrer hat uns dann diese Funktion gegeben:
| (x-3) kommt doch von der einfachen Nullstelle und das x^3 von der dreifachen oder? Ist a immer unbekannt?

Danach kam das hier:
| Hier wird ja 2 für x eingesetzt. Ist das jetzt nur geraten oder kommt es vom Tiefpunkt? Weil aus f(x) wurde ja hier -4 und das ist die y-Koordinate des Tiefpunkts. Von wo kommt aber die 8 dann?

| Wie kommt man jetzt darauf? (ich sehe jetzt überhaupt nicht was davor erechnet wurde obwohl es bestimmt eindeutig ist)

| Hier weiß das es das Ergebnis von -4/-8 ist

Da wir jetzt a haben kamen wir dann zu diesem Term:




Sieht vielleicht ein bischen viel aus (obwohl es eigentlich wenig ist), aber ich wäre sehr dankbar darüber wenn mir einer dabei helfen könnte. Am besten so wie das Beispiel.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, dann fangen wir mal an:

Merke dir einfach, dass wenn du eine Nullstelle x=a des Graphen erkennst, dass dann schonmal ein Linearfaktor der gesuchten Funktion (x-a) lautet.

Liegt an dieser Nullstelle x=a gleichzeitig ein Hoch. oder Tiefpunkt, dann spricht man von einer doppelten Nullstelle ---> (x-a)*(x-a)=(x-a)²

Liegt an dieser Nullstelle x=a gleichzeitig ein Sattelpunkt, dann spricht man von einer dreifachen Nullstelle ---> (x-a)*(x-a)*(x-a)=(x-a)³

Versuche das erstmal anhand des ersten Graphen azuwenden.
Was erhälst du ?

Gruß Björn
 
 
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Der erste Graph hat ja eine 3-fache Nullstelle bei 2 also (x-2)*(x-2)*(x-2)=(x-2)³ und eine einfache Nullstelle bei -1 also (x+1).

Alles richtig bis jetzt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, alles prima =)

Die gesuchte Funktion hat also die Form f(x)=a(x-2)³(x+1)

Den Parameter a berechnest du jetzt einfach durch Einsetzen des gegebenen Punktes P(0 | 20) .
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm..

Also 20=a(x-2)³(x+1)?

Was muss man danach machen? Für x 0 einsetzen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

0 ist x-Koordinate und 20 ist y-Koordinate, also f(x)
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Also jetzt 20=a(0-2)³(0+1)? Ich hab mal was damit gerechnet aber es ist falsch.

Hier mal meine Rechnung um meine Fehler zu zeigen und zu verbessern:

20=a8+1(=9) |-9
11=a

f(x)=11(x-2)³(x+1)
f(x)=11(x^3-2x+9)*(x+1)
f(x)=(11x^3-22x+99)*(x+1)
f(x)=11x^4+11x^3-22x^2-22x+99x+99
f(x)=11x^4+11x^3-22x^2+77x+99
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

20=a(0-2)³(0+1) <=> -8a =20 <=> a= ...
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Dann:

20=a(0-2)³(0+1)
<=> -8a =20
<=> a = 28

Lag mein Fehler also nur dabei? Ich glaube nicht, da meine Rechnung mit Sicherheit mathematischer Unfug war. Würde gerne genau wisse wie man das ganze umformt, da das einer meiner großen Algebrschwächen ist.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist leider immer noch Unfug, denn du darfst die Gleichung doch nicht einfach mit 8 addieren wenn du da eine Multiplikation stehen hast....naja DÜRFEN tust du das schon, aber die -8 geht damit nicht als Faktor vor dem a weg.
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Ist -2.5 besser? Was muss ich danach machen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

a=-2,5 ist richtig

Was du jetzt noch machen musst weisst du bestimmt auch alleine Augenzwinkern

Der Graph sieht jedenfalls mit dieser Funktionsvorschrift gut aus:

Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung falls ich dich jetzt enttäusche aber meine Algebraschwäche hindert mich daran diese Aufgabe zu lösen. Wie macht man das denn überhaupt, wenn es jetzt so leicht ist? So wie ich es versucht habe ist es ja falsch.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst jetzt halt noch diesen Wert in f(x) einsetzen und dann alle Klammern auflösen:

-2,5(x-2)³(x+1)=-2,5(x-2)(x-2)(x-2)(x+1)
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt ein bischen verwirrt.

Welcher Wert muss in f(x) eingesetzt werden? Ist das -2,5(x-2)³(x+1)=-2,5(x-2)(x-2)(x-2)(x+1)? Wie löst man denn die Klammer auf? So wie ich das gemacht habe ist es doch falsch.
Muss ich jetzt die -2.5 mit jeder Zahl in den Klammern multiplizieren und dann zusammenfassen oder wie? Mache bei sowas immer die meisten Fehler, da ich nie weiß was man genau machen muss und dann irgendein Mist mache.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne vielleicht erstmal (x-2)(x-2) und dann (x-2)(x+1)

Was da dann jeweils rauskommt musst du dann noch einmal miteinander multiplizieren.

Am Schluss dann jeden Summanden noch mit -2,5 multiplizieren.

Unser Mathelehrer hat früher immer gesagt "jeder mit jedem" wenn er uns die Multiplikation mit solchen Klammerausdrücken erklären wollte ; )

Hast du z.B. (a+b)(c-d) so ist das dann ac-ad+bc-bd

Wenn man 3 Summanden in einer Klammer vorkommen wie bei (a+b+c)(d-e):

ad-ae+bd-be+cd-ce

Kommst du jetzt klar ?
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay. Wusste jetzt nicht das man die Klammer so aufteilen kann.

Was kommt denn dann für eine Lösung raus? Ich habe da f(x) = -2.5x^4 - 12.5x^3 -35x^2 - 10x +20 raus aber die ist laut Taschenrechner falsch.

Hier mein Protokoll:
(x-2)(x-2) (x-2)(x+1)

(x^2-2x-2x+4) (x^2+x-2x-2)
x^4 + x^3 - 2x^3 - 2x^2
2x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 4x
2x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 4x
4x^2 + 4x -8x - 8

-2.5(x^4 + 5x^3 + 14x^2 +4x - 8)
-2.5x^4 - 12.5x^3 -35x^2 - 10x +20

Ich nehme jetzt mal an das der Fehler durch meine Notiermethode enstanden ist, bei der man leicht durcheinander kommt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(x^2-2x-2x+4) (x^2+x-2x-2)
x^4 + x^3 - 2x^3 - 2x^2
2x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 4x
2x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 4x
4x^2 + 4x -8x - 8


Sowie ich das sehe sind die Vorzeichen in Zeile 3 und 4 falsch.
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die ersten beiden Vorzeichen der 3. und 4. Zeile geändert aber da kommt trotzdem was falsches raus (-2.5x^4 - 7.5x^3 - 15x^2 + 10x +20).

Für heute war das glaube ich schon ziemlich viel und ein dickes fettes DANKE meinerseits. Hab heute sehr viel gelernt und ich glaube das ich das schon bald so weit kann ohne ein 5-6 Gefühl zu haben. Ich hoffe das du noch für weitere Fragen offen bist, da du bestimmt bemerkt hast, das die Klausur noch mehr Aufgaben hat. (bitte nicht falsch verstehen, aber vor einer Matheklausur bin ich immer so unsicher)

Mich würde es trotzdem interessieren was bei der Aufgabe rauskommt damit ich das morgen noch auf Papier in Ruhe nachvollziehen kann.

Nochmals vielen Dank.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »



Du hast dich nur mit dem Vorfaktor vor x³ vertan, der Rest stimmt.

Ich wünsche dir dann noch einen schönen Abend und viel Erfolg weiterhin beim Lernen.
Falls ich online sein sollte werde ich dir gerne noch weiterhelfen - es sind aber auch genug andere Helfer hier Augenzwinkern

Bis dann

Björn
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm ich hab mal die zweite Aufgabe gemacht nach dem Schema wie letztens aber irgendwie ist es falsch.

Hier mein Protokoll:
- einfache Nullstelle bei - 1
- doppelte Nullstelle bei 0
- einfache Nullstelle bei 3
- P(1/-10)

-10 = a*(1+0)²*(1+1)*(1-3)
-10 = a* 1+0+1-3+1-3
-10 = -3a | :3
-3.3 = a

-3.3 * [(x+1)*(x+0)]*[(x+0)*(x-3)]
-3.3 * [x^2+0+1x+0][x^2-3x+0+0]
x^4-3x^3+0+0
0+0+0+0
x^3-3x^2+0+0
0+0+0+0

f(x) = -3.3 * (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 0)
f(x) = -3.3x^4 + 6.66x^3 + 9.99x^2 + 0

Wo ist dieses mal mein Fehler?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Musst mal genau hinschauen, bei x=-1 ist keine Nullstelle Augenzwinkern
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Uuh stimmt. Ich habe ausversehen den ersten raphen da angeguckt.

Hier ist mein neuses Protokoll:
- einfache Nullstelle bei - 4
- doppelte Nullstelle bei 0
- einfache Nullstelle bei 3
- P(1/-10)

-10 = a*(1+0)²*(1+4)*(1-3)
-10 = a*1+0+0-1-3+7-12
-10 = -8a | :8
1.25 = a

1.25 * [(x+4)*(x+0)]*[(x+0)*(x-3)]
1.25 * [x^2+0+4x+0][x^2-3x+0+0]
x^4 - 3x^3 + 0 + 0
0 + 0 + 0 + 0
4x^3 - 12x^2 + 0 + 0
0 + 0 + 0 + 0

f(x) = 1.25*(x^4 - x^3 - 12x^2)
f(x) = 1.25x^4 - 1.25x^3 - 15x^2 - 0

Aber irgendwie ist es wieder ein bischen falsch da die Nullstellen vertauscht wurden sind.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
-10 = a*(1+0)²*(1+4)*(1-3)


Auf der rechten Seite stehen 4 Faktoren, die du nur noch miteinander mutliplizieren musst.

(1+0)² =1²=1

(1+4)=5

(1-3)=-2

=> a * 1 * 5 * (-2) = ...
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

=> a * 1 * 5 * (-2) = -10 | :-10
=> a = 1

Damit müsste doch die Gleichung dann f(x) = x^4 - x^3 - 12x^2 lauten, aber das ist dann noch immer falsch. Liegt der Fehler vielleicht bei diesen Schritt ([(x+4)*(x+0)]*[(x+0)*(x-3)])?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du die Lösungen alle da schon stehen oder warum sagst du nach jedem deiner Schritte "Das ist aber eh wieder falsch" ?

Mit a=1 wird aus f(x)=(x+4)(x-3)ax² dann f(x)=(x+4)(x-3)x²

(x+4)(x-3) = ...

Und das dann noch mit x² multiplizieren.
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe die Gleichung einfach in meinem GTR ein und da sehe ich ob der Graph stimmt oder (wie bei mir) nicht.

Jetzt habe ich es aber richtig und die Gleichung lautet f(x) = x^4 - 3x^3 +4x^3 - 12x^2

Kommen wir zum nächsten Graph. Bei den erkenne ich folgendes:
- einfache Nullstelle bei -4 und 3
- y-Achsenabschnitt ist -10

Neu bei dieser Aufgabe ist ja der zweite Punkt der gegeben ist, aber was muss man damit machen? Muss man den voherigen Vorgang mit den beiden Punkten machen und dann zusammenfassen oder kann man sich hier einen Punkt einfach aussuchen? Der Unterschied zum Graphen davor ist ja nur der y-Achsenabschnitt oder braucht man gerade deswegen den zweiten Punkt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir bei dieser Aufgabe auch nicht ganz sicher, denn mit meiner Idee liegen die Extrempunkte immer etwas tiefer als im Schaubild.

Das Problem ist, dass man für den Graphen bei c) wieder eineganzrationale Funktion 4. Grades benötigt (siehe b)) und wenn man dann nur die beiden Nullstellen berücksichtigt landet man bei einer Funktion 2. Grades.

Meine Idee wäre es mit f(x)=(x+4)(x-3)(ax²+b) für geeignete a und b

Denn irgendwie muss man ja gewährleisten, dass außer x=-4 und x=3 keine Nullstelle mehr vorliegen darf.

Setzt man die beiden Punkte P und Q dann in diese Gleichung ein, entsteht ein lineares Gleichungssystem, was man dann nach a und b auflösen kann.

Gruß Björn
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Wie muss man vorgehen wenn man zwei Unbekannte in einer Gleichung hat? Mit ein lineares Gleichungssystem wäre das doch so oder:

y = a^2 + b + c
| -10 = 0^2 + 0 + c |
| -20 = 1^2 + 1 + c |
| (- c) |
| -10 = 0^2 + 0 |
| -20 = 1^2 + 1 |
| (-1^2) |
| -10 = -1 + 0 |
| -20 = 1 |
| (+20) |
...

Okay ich habe hier zu viel geraten und wahrscheinlich die selben Fehler gemacht wie bei der letzten Arbeit.
Wie muss man das denn jetzt machen? Lag der Fehler schon in der Gleichung oder bei den Befehlen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst hast du jetzt auf einmal 3 Variablen mit a,b und c vorliegen und mit nur 2 gegebenen Punkten kannst du das dann nicht eindeutig lösen.

Du musst halt das machen, was ich dir gesagt habe, nämlich jeden der beiden Punkte in f(x)=(x+4)(x-3)(ax²+b) einsetzen: also für alle x die x-Koordinate des jeweiligen Punktes und für f(x)=y die y-Koordinate des jeweiligen Punktes einsetzen.

Es sollten dadurch 2 Gleichungen entstehen, die nur noch a, b und Zahlen beinhalten.

Björn
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

So?

| -10=(0+4)(0-3)(a0²+b) | Ich bin hier mir nicht sicher,
| -20=(1+4)(1-3)(a1²+b) | ob man auch bei x² das x einsetzen kann

Was muss man jetzt mit den Gleichungssystem machen? Ich sehe jetzt nicht wie man das nach a bzw b auflösen kann.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt alles.

Die erste Gleichung kannst du nun nach b auflösen, da durch a*0² das a eh wegfällt.
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm so vielleicht?:

-10=(0+4)(0-3)(a0²+b)
-20=(1+4)(1-3)(a1²+b)

-10 = 4 - 3 + b
-10 = 1 + b | -1
-11 = b

-20 = 5 - 2 + a + b
-20 = 3 + a - 11
-20 = -8 + a | + 8
-12 = a
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne dir jetzt zu Nahe treten zu wollen solltest du dir wirklich mal darüber klar werden, wann es angebracht ist zu addieren bzw man zu multiplizieren.
Bei dem wie du vorgehst habe ich nicht den Eindruck als ob du den Unterschied kennst.

Björn
Geiermann Auf diesen Beitrag antworten »

Wo habe ich den jetzt die Fehler gemacht? Das bei meinem Arbeiten immer ein dickes Alg am Rand steht ist mir schon klar, da ich wenn ich keine Ahnung habe irgendetwas mache ohne zu wissen was zu tun ist.
Gehört vielleicht die 1 und die -8 als Faktor zu a bzw b oder wo sollte man da multipilizieren/dividieren?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
-10=(0+4)(0-3)(a0²+b)
-20=(1+4)(1-3)(a1²+b)


Du solltest dir eben mal vor Augen führen, dass es sich hier auf den rechten Seiten immer um Produkte handelt.
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