Zahlentheorie, Teilbarkeit

28.02.2008, 22:34

hallochen

Zahlentheorie, Teilbarkeit

Hallo,

ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter, habe einige Ansätze ausprobiert aber die führen nicht zum gewünschten Ergebnis bzw. führen in die Sackgase...

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Zahlen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} (n + 1)\ Teiler\ von\ (n^2 + 1992) \end{eqnarray*}$

28.02.2008, 22:38

tmo

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$\begin{eqnarray*} n^2+1992=(n+1)^2-2(n+1)+1993 \end{eqnarray*}$

29.02.2008, 11:23

hallochen

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Hallo,

Danke für deine Antwort einen ähnlichen Ansatz hatte ich auch:

$\begin{eqnarray*} n^2 + 1992 = (n + 1)(n - 1) + 1993 \end{eqnarray*}$

Zur Lösung gehören zwei Zahlen, ich kann mir die Lösung so erklären das ich den rechten Teil der Gleichung

mod (n + 1)

nehme und dann prüfe für welche Zahlen 1993 mod (n + 1) Null ergibt, da 1993 eine Primzahl ist, sind es nur zwei.

Es muss aber eleganter gelöst werden, ich denke durch eine quadratische Gleichung auf die ich nicht komme...

29.02.2008, 13:15

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"Alle Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 1993 ist" mit einer dann einzeiligen Lösung ist dir nicht elegant genug??? Bin sehr gespannt auf deine elegantere Lösung. Augenzwinkern

29.02.2008, 13:40

hallochen

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Zitat:

Original von Arthur Dent
"Alle Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 1993 ist" mit einer dann einzeiligen Lösung ist dir nicht elegant genug??? Bin sehr gespannt auf deine elegantere Lösung. Augenzwinkern

meine Aussgabe bezog sich auf meine Lösung, 1993 ist eine Primzahl und demnach gibt es nur zwei Zahlen 0, 1992 die zur Lösung führen. Ich bin mir aber nicht sicher ob ich das so argumentieren kann, evtl. gibt es eine andere Methode um auf die Zahlen 0, 1992 zu kommen. smile

29.02.2008, 13:49

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Deine Argumentation ist völlig Ok und ausreichend: 1993 als Primzahl besitzt nur die beiden positiven Teiler 1 und 1993. Wenn also $\begin{eqnarray*} (n+1) \mid 1993 \end{eqnarray*}$ , dann bleiben nur die beiden Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} n+1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+1=1993 \end{eqnarray*}$ . Freude

Wenn es hingegen um beliebig ganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gehen würde, dann kämen noch $\begin{eqnarray*} n+1=-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n+1=-1993 \end{eqnarray*}$ hinzu.

Ich kann mir im Moment nicht vorstellen, wie das entscheidend eleganter gehen soll - schon gar nicht mit quadratischen Gleichungen...

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