Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften

Neue Frage »

anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
Hallo,
hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
"Zwei Straßenenden sind durch die Halbgerade y=0 für x<1 und x=1 und y=2 für x>3 und x=3 gegeben. Sie sollen durch einen Übergangsbogen miteinander verbunden werden. Der Einfachheit wegen soll dieser Bogen der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit möglichst kleinem Grad sein.
a) Der Graph von f soll an den Anschlussstellen die Steigung 0 haben. Bestimme f(x).
b) f soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimmt f(x)."


Ist dann bei P(0/1) der Tiefpunkt und bei P(3/2) der Hochpunkt? Wie soll ich das rechnen, dass die Steigung = 0 ist? Mir fehlt der Ansatz...

Danke schonmal!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast du dir schon eine skizze gemacht?

zähle alle bedingungen, die du hast, dein ansatz sollte dann eion polynom einen grad kleiner sein.
a) 2 anschlussstellen mit gegebenen punkten
b) 2 stellen mit gegebener steigung
4 bedigungen: kubischer ansatz


zu deiner frage: setze einfach: f'(...)=0, das liefert dir je eine bedingung
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab mir eine Skizze gemacht.
Ich versteh nicht, warum der (oder das?) Polynom einen Grad kleiner sein muss als alle Bedingungen? Gibt es eine "kubische Regel", oder hat es einen anderen Grund?

Ich hab die Bedingungen in ein Gleichungssystem gesetzt:

Das ist mein Ansatz.

a + b + c + d = 0
27a + 9b + 3c + d = 2
3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 2

ist er soweit richtig?

Ich hab dann weitergerechnet und nun komme ich an folgender Stelle nicht weiter...

a + b + c + d = 0
10a + 2b = 1
3a + 2b + c = 0
a = 0

weil a doch nicht = 0 sein kann, oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

kubischer ansatz, also grad 3, weil dein polynomansatz eine unbekannte mehr enthält als grad (es gibt doch den konstanten teil hintendran), d.h. ein polynomansatz vom grad n hat n+1 unbekannte und soviele brauchst du hier.

du solltest dazusagen, dass dein ansatz f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ist (also deine variablen erklären!)
dann sieht dein ansatz gut aus

dein LGS habe ich nicht nachgerechnet, aber wenn da a=0 rauskommt, dann ist das vollkommen in ordnung
dann wäre dein polynom sogar kleineren grades, dass wäre ja nicht schlimm

darum: rechne erst mal deine anderen unbekannten aus und teste dann deine bedingungen anschließend nach

mfg jochen
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab zu Ende gerechnet, es kommt nicht hin...
Weil d = b ist !
Also das geht doch nun wirklich nicht, oder?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

warum denn nicht?
natürlich können da koeffizienten gleich sein

wie schon gesagt, setze deine errechneten werte für a,b,c,d in deine funktion ein und prüfe nach, ob diese die bedingungen erfüllt
 
 
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Jochen,
Ich hab die hinreichenden Kriterien geprüft, und es kommt nicht hin. Ich weiß echt nicht, wo mein Fehler liegt...
Es wäre nett, wenn du ihn finden könntest!
Hier der das Gleichungssymstem:

a+b+c+d=0
27a+9b+3c+d=2 II-I (das soll die erste Gleichug minus die zweite heißen)
3a+2b+c=0
27a+6b+c=2

a+b+c+d=0
26a+8b+2c=2
3a+2b+c=0
27a+6b+c=2 IV-III

a+b+c+d=0
26+8b+2c=2 :2
3a+2b+c=0
24a+4b=2

a+b+c+d=0
13a+4b+c=1 II-III
3a+2b+c=0
24a+4b=2

a+b+c+d=0
10a+2b=1
3a+2b+c=0
24a+4b=2 :2

a+b+c+d=0
10a+2b=1
3a+2b+c=0
12a+2b=1 IV-II

a+b+c+d=0
10a+2b=1
3a+2b+c=0
2a=0 :2

a+b+c+d=0 a=0
10a+2b=a a=0
3a+2b+c=0 a=0
a=0

b+c+d=0
2b=1 :2
2b+c=0
a=0

b+c+d=0 b=0,5
b=0,5
2b+c=0 b=0,5
a=0

0,5+c+d=0
b=0,5
1+c=0 c=-1
a=0

0,5+c+d0 c=1
b=0,5
c=-1
a=0

0,5-1+d=0 +0,5
b=0,5
c=-1
a=0

a=0
b=0,5
c=-1
d=0,5

Danke schonmal im Voraus!
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß garnicht was du hast, ich komm auf die selben lösungen smile

vorausgesetzt wir gehen von:

a+b+c+d=0
27a+9b+3c+d=2
3a+2b+c=0
27a+6b+c=2

aus.



Gruß, mercany
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Das ist mein Ansatz.

a + b + c + d = 0
27a + 9b + 3c + d = 2
3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 2

ist er soweit richtig?

Nein, ist er nicht:

Zitat:
Original von anna_88
a) Der Graph von f soll an den Anschlussstellen die Steigung 0 haben.

Kommt davon, wenn man gleich drauflos rechnet, statt erstmal ordentlich aufzuschreiben



und dann die Anschlussbedingungen formuliert:



Und bei der letzten ist es dann eben passiert - du hast angesetzt...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur
Danke, dass du das klargestellt hast.
Ich war nur von seinem geposteten LGS ausgegangen und hatte das überprüft!

Da sieht man mal wieder, dass man sich alles durchlesen sollte! Hammer



Gruß, Jan
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, deshalb kam es nicht hin... Hammer
Hab es jetzt nochmal mit dem richtigen Ansatz gerechnet und komme auf
f(x) = -0,5x^3+3x^2-4,5x+2...
Hab auch schon die hinreichenden Kriterien geprüft, passt auch!
: )
Geschafft!
Vielen lieben Dank für eure Mühe Freude :
Loed,
Mercany,
und Arthur Dent!

P.S.: Das nächste Mal schau ich genauer hin!

EDIT:
So, nachdem ich die Aufgabe a) jetzt mit eurer Hilfe gelöst habe, wollte ich mit b) anfangen:

b) f soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimmt f(x).

Wie soll das gehen? Muss man die erste Ableitung, die zweite Ableitung und die Gleichung der Halbgeraden dafür gleichsetzen? Wenn ja, wie komme ich auf die Gleichung der Halbgeraden? Die Gleichungen der Geraden wären ja y=2 und y=0, nur wie geht das mit den Halbgeraden?

Oh je, ich muss noch viel lernen...

Doppelpost zusammengefügt (wenn auch spät) (Frooke)
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Was bitte sind denn "Anschlussstellen" verwirrt

Klär mich doch bitte da mal wer auf smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Die Gleichungen der Geraden wären ja y=2 und y=0, nur wie geht das mit den Halbgeraden?

Die Gleichungen der Halbgeraden sind dieselben, nur eben mit eingeschränkten x-Definitionsbereich (x<=1 bzw. x>=3).

Und was die zweiten Ableitungen an den Anschlusstellen betrifft: Wie lauten denn dort die zweiten Ableitungen der konstanten Funktionen y=0 und y=2 ?


@mercany

Damit sind x=1 und x=3 gemeint.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
[quote]Original von anna_88
@mercany

Damit sind x=1 und x=3 gemeint.


Achso, jetzt wo ich mir die komplette Aufg. oben nochmal durchgelesen habe, merke ich endlich mal, dass sich das auf die Straße bezieht!

Ich dachte schon, das wäre irgendein Begriff aus der Mathematik Big Laugh


Danke Arthur!
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
[quote]Original von anna_88

Und was die zweiten Ableitungen an den Anschlusstellen betrifft: Wie lauten denn dort die zweiten Ableitungen der konstanten Funktionen y=0 und y=2 ?


Ich kann von y=0 bzw. von y=2 nicht mal die erste Ableitung bilden... Würde da nicht immer y=0 rauskommen? Für alle Ableitungen ? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht y=0, sondern einfach 0 kommt raus bei allen Ableitungen konstanter Funktionen, ja. Freude
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

aber 0 ist doch dann keine Gleichung... ich dachte ich bräuchte eine, um sie mit den Gleichungen der Halbgerdane gleichzusetzen...
Also wozu genau brauch ich jetzt die 0?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Von oben übernehmen wir



mit den Anschlussbedingungen

.

Neu hinzukommen jetzt aber die zweiten Ableitungen

.

Damit ist auch klar, dass zur Erfüllung dieser nunmehr 6 Bedingungen ein Polynom dritten Grades nicht mehr ausreichen wird, sondern ein Polynom wievielten Grades?
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Polynom fünften Grades?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, genau wie Jochen es oben schon erwähnt hatte. Freude
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay...

Lautet das Lösungssystem also so:

a+b+c+d=0
27a+9b+3c+d=2
3a+2b+c=0
27a+6b+c=0
20a+12b+6c+2d=0
540a+108b+18c+2d=0 ?

Hoffentlich! Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Struktur nach entnehme ich, dass du die ersten vier Gleichungen mit dem alten kubischen Ansatz



aufgestellt hast, und die letzten beiden Gleichungen mit dem neuen Ansatz fünften Grades

.

Was glaubst du denn, ob dieses Vorgehen richtig sein kann???
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, das Vorgehen kann nicht richtig sein...

Sieht es so besser aus:

a+b+c+d+e+f=0
243a+81b+27c+9d+3e+f=2
5a+4b+3c+2d+e=0
405a+108b+27c+6d+e=0
20a+12b+6c+2d=0
540a+108b+18c+2d=0 ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ anna_88

Wenn du deinen Ansatz einmal ganz zu Ende durchgerechnet hast, kannst du meinen Vorschlag begutachten. Er verwendet Symmetrieeigenschaften, um den Rechenaufwand zu verringern.

Die ganze Sache kann man nämlich wesentlich vereinfachen, wenn man die Straßen so ins Koordinatensystem legt, daß die Mitte des Verbindungsstückes gerade der Ursprung ist. Nehmen wir die Aufgabe a) und betrachten wir die Halbgeraden




Jetzt kann man für die kubische Funktion wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung den Ansatz



wählen und hat die Bedingungen




Man berechnet ohne Mühe , also



Jetzt muß man alles um 2 nach rechts verschieben, also durch substituieren, und um 1 nach oben verschieben, also 1 addieren:



Das war's.



Und genauso kann man bei b) vorgehen:





ist die gesuchte Funktion.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Wenn du schon empfiehlst, den bisherigen Ansatz durchzurechnen, dann hättest du bei der Gelegenheit auch gleich mal den Fehler in den ersten beiden Gleichungen korrigieren können:

Zitat:
Original von anna_88 (korrigiert)
a+b+c+d+e+f=0
243a+81b+27c+9d+3e+f=2

Aber so ist er, unser Leo - immer selbstverliebt die eigenen eleganten Ansätze propagieren... smile
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur:
Ich hab den Fehler grad auch schon selbst gefunden! smile
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold: Danke für den Tipp mit der Vereinfachung.

Unser Lehrer hat aber gesagt, wir sollen das mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.
Ich bin aber leider mit 6 Variabeln total überfordert!
Mir fehlt einfach "das mathematische Auge" dafür... Hatten bis jetzt auch erst höchstens vier...
Hab hier rumprobiert und ich krieg es einfach nicht hin unglücklich

Naja, wenn mir jetzt jemand die Lösung nennen würde, wär das ja eigentlich "pädagogisch nicht sinnvoll" ...
Naja, ich würde es aber schon für sinnvoll halten, weil ich dann eine Musterlösung mit 6 Variabeln hätte ... Hilfe

Falls es erlaubt ist, wäre ich sehr dankbar für die Lösung ...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich dachte, heutzutage hat jeder Gymnasialschüler einen TR, der 6x6 LGLS lösen kann. Augenzwinkern
Ist wohl doch nicht so.
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, schon möglich, dass mein Taschenrechner es kann... dann weiß ich nur nicht, wie...
Außerdem brauch ich eh die Zwischenschritte.
Wenn niemand die Lösung posten will, dann lass ich die Aufgabe halt weg... ist ja auch nicht soooo tragisch...
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn niemand die Lösung posten will

wir müssen das genauso rechnen wie du

mit dem gaußalgorithmus solltest du das in den griff bekommen
dann ist das zwar eine heidenarbeit, aber durchaus machbar

mfg jochen
derkoch Auf diesen Beitrag antworten »

versuche mal hiermit:

http://www.gym-kirn.de/hp/projekte/infos...the/gauss2.html

eingeben mußt du aber schon selber! smile
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt mit Hilfe von
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm
auf folgende Lösung des LGS gekommen:

f(x) = 3/8x^5 - 15/4x^4 + 55/4x^3 - 45/sx^2 + 135/8x - 19/4

Wenn ich 1 in die zweite Ableitung einsetze (um den Tiefpunkt zu prüfen), komm f(x) = 0 raus. Es müsste aber eigentlich x>0 sein.

Woran kann das liegen:

Kann man automatischen Programmen zum Berechnen von LGS nicht trauen?
Oder gibt es keine Lösung für die Aufgabe?
Oder hab ich schon wieder was falsch gemacht? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von anna_88
Wenn ich 1 in die zweite Ableitung einsetze (um den Tiefpunkt zu prüfen), komm f(x) = 0 raus.

Richtig, so haben wir das ja konstruiert: (s.o.).

Zitat:
Original von anna_88
Es müsste aber eigentlich x>0 sein.

(Mit x>0 meinst du wahrscheinlich ) Nein - wieso das denn???

Hier der Plot der ganzen Funktion:

anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Oops, hab das wieder mit Aufgabe a) verwechselt, weil man da ja den Tiefpunkt prüfen musste...

Also gibt es bei b) keine hinreichenden Kriterien, die man prüfen kann?

Die einzige Probe, die man machen kann: man setzt für x 1 bzw. 3 ein und es muss f(x) = 0 bzw. f(x) = 2 rauskommen. Richtig?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Und natürlich, dass erste und zweite Ableitungen an den Stellen 1 und 3 jeweils gleich Null sind.
anna_88 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok... kommt alles hin!
Also wär die Aufgabe jetzt endlich geschafft...
Ich muss nur noch das automatisch errechnete LGS nachvollziehen können... Aber ich denke, das werd ich wohl hinkriegen.

Vielen Dank noch einmal für die Tipps von euch allen!

Liebe Grüße,
Anna
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »