Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften |
09.09.2005, 18:10 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bestimmen ganzrationaler Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften hab ein Problem mit folgender Aufgabe: "Zwei Straßenenden sind durch die Halbgerade y=0 für x<1 und x=1 und y=2 für x>3 und x=3 gegeben. Sie sollen durch einen Übergangsbogen miteinander verbunden werden. Der Einfachheit wegen soll dieser Bogen der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit möglichst kleinem Grad sein. a) Der Graph von f soll an den Anschlussstellen die Steigung 0 haben. Bestimme f(x). b) f soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimmt f(x)." Ist dann bei P(0/1) der Tiefpunkt und bei P(3/2) der Hochpunkt? Wie soll ich das rechnen, dass die Steigung = 0 ist? Mir fehlt der Ansatz... Danke schonmal! |
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09.09.2005, 18:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hast du dir schon eine skizze gemacht? zähle alle bedingungen, die du hast, dein ansatz sollte dann eion polynom einen grad kleiner sein. a) 2 anschlussstellen mit gegebenen punkten b) 2 stellen mit gegebener steigung 4 bedigungen: kubischer ansatz zu deiner frage: setze einfach: f'(...)=0, das liefert dir je eine bedingung |
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09.09.2005, 19:37 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, hab mir eine Skizze gemacht. Ich versteh nicht, warum der (oder das?) Polynom einen Grad kleiner sein muss als alle Bedingungen? Gibt es eine "kubische Regel", oder hat es einen anderen Grund? Ich hab die Bedingungen in ein Gleichungssystem gesetzt: Das ist mein Ansatz. a + b + c + d = 0 27a + 9b + 3c + d = 2 3a + 2b + c = 0 27a + 6b + c = 2 ist er soweit richtig? Ich hab dann weitergerechnet und nun komme ich an folgender Stelle nicht weiter... a + b + c + d = 0 10a + 2b = 1 3a + 2b + c = 0 a = 0 weil a doch nicht = 0 sein kann, oder? |
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09.09.2005, 20:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kubischer ansatz, also grad 3, weil dein polynomansatz eine unbekannte mehr enthält als grad (es gibt doch den konstanten teil hintendran), d.h. ein polynomansatz vom grad n hat n+1 unbekannte und soviele brauchst du hier. du solltest dazusagen, dass dein ansatz f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ist (also deine variablen erklären!) dann sieht dein ansatz gut aus dein LGS habe ich nicht nachgerechnet, aber wenn da a=0 rauskommt, dann ist das vollkommen in ordnung dann wäre dein polynom sogar kleineren grades, dass wäre ja nicht schlimm darum: rechne erst mal deine anderen unbekannten aus und teste dann deine bedingungen anschließend nach mfg jochen |
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09.09.2005, 21:26 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab zu Ende gerechnet, es kommt nicht hin... Weil d = b ist ! Also das geht doch nun wirklich nicht, oder? |
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09.09.2005, 23:03 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
warum denn nicht? natürlich können da koeffizienten gleich sein wie schon gesagt, setze deine errechneten werte für a,b,c,d in deine funktion ein und prüfe nach, ob diese die bedingungen erfüllt |
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10.09.2005, 13:15 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey Jochen, Ich hab die hinreichenden Kriterien geprüft, und es kommt nicht hin. Ich weiß echt nicht, wo mein Fehler liegt... Es wäre nett, wenn du ihn finden könntest! Hier der das Gleichungssymstem: a+b+c+d=0 27a+9b+3c+d=2 II-I (das soll die erste Gleichug minus die zweite heißen) 3a+2b+c=0 27a+6b+c=2 a+b+c+d=0 26a+8b+2c=2 3a+2b+c=0 27a+6b+c=2 IV-III a+b+c+d=0 26+8b+2c=2 :2 3a+2b+c=0 24a+4b=2 a+b+c+d=0 13a+4b+c=1 II-III 3a+2b+c=0 24a+4b=2 a+b+c+d=0 10a+2b=1 3a+2b+c=0 24a+4b=2 :2 a+b+c+d=0 10a+2b=1 3a+2b+c=0 12a+2b=1 IV-II a+b+c+d=0 10a+2b=1 3a+2b+c=0 2a=0 :2 a+b+c+d=0 a=0 10a+2b=a a=0 3a+2b+c=0 a=0 a=0 b+c+d=0 2b=1 :2 2b+c=0 a=0 b+c+d=0 b=0,5 b=0,5 2b+c=0 b=0,5 a=0 0,5+c+d=0 b=0,5 1+c=0 c=-1 a=0 0,5+c+d0 c=1 b=0,5 c=-1 a=0 0,5-1+d=0 +0,5 b=0,5 c=-1 a=0 a=0 b=0,5 c=-1 d=0,5 Danke schonmal im Voraus! |
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10.09.2005, 13:33 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich weiß garnicht was du hast, ich komm auf die selben lösungen vorausgesetzt wir gehen von: a+b+c+d=0 27a+9b+3c+d=2 3a+2b+c=0 27a+6b+c=2 aus. Gruß, mercany |
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10.09.2005, 13:49 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ist er nicht:
Kommt davon, wenn man gleich drauflos rechnet, statt erstmal ordentlich aufzuschreiben und dann die Anschlussbedingungen formuliert: Und bei der letzten ist es dann eben passiert - du hast angesetzt... |
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10.09.2005, 14:01 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Arthur Danke, dass du das klargestellt hast. Ich war nur von seinem geposteten LGS ausgegangen und hatte das überprüft! Da sieht man mal wieder, dass man sich alles durchlesen sollte! Gruß, Jan |
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10.09.2005, 14:20 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh man, deshalb kam es nicht hin... Hab es jetzt nochmal mit dem richtigen Ansatz gerechnet und komme auf f(x) = -0,5x^3+3x^2-4,5x+2... Hab auch schon die hinreichenden Kriterien geprüft, passt auch! : ) Geschafft! Vielen lieben Dank für eure Mühe : Loed, Mercany, und Arthur Dent! P.S.: Das nächste Mal schau ich genauer hin! EDIT: So, nachdem ich die Aufgabe a) jetzt mit eurer Hilfe gelöst habe, wollte ich mit b) anfangen: b) f soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimmt f(x). Wie soll das gehen? Muss man die erste Ableitung, die zweite Ableitung und die Gleichung der Halbgeraden dafür gleichsetzen? Wenn ja, wie komme ich auf die Gleichung der Halbgeraden? Die Gleichungen der Geraden wären ja y=2 und y=0, nur wie geht das mit den Halbgeraden? Oh je, ich muss noch viel lernen... Doppelpost zusammengefügt (wenn auch spät) (Frooke) |
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10.09.2005, 16:40 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was bitte sind denn "Anschlussstellen" Klär mich doch bitte da mal wer auf |
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10.09.2005, 16:43 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Gleichungen der Halbgeraden sind dieselben, nur eben mit eingeschränkten x-Definitionsbereich (x<=1 bzw. x>=3). Und was die zweiten Ableitungen an den Anschlusstellen betrifft: Wie lauten denn dort die zweiten Ableitungen der konstanten Funktionen y=0 und y=2 ? @mercany Damit sind x=1 und x=3 gemeint. |
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10.09.2005, 16:49 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, jetzt wo ich mir die komplette Aufg. oben nochmal durchgelesen habe, merke ich endlich mal, dass sich das auf die Straße bezieht! Ich dachte schon, das wäre irgendein Begriff aus der Mathematik Danke Arthur! |
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10.09.2005, 16:52 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann von y=0 bzw. von y=2 nicht mal die erste Ableitung bilden... Würde da nicht immer y=0 rauskommen? Für alle Ableitungen ? |
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10.09.2005, 16:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht y=0, sondern einfach 0 kommt raus bei allen Ableitungen konstanter Funktionen, ja. |
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10.09.2005, 16:59 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber 0 ist doch dann keine Gleichung... ich dachte ich bräuchte eine, um sie mit den Gleichungen der Halbgerdane gleichzusetzen... Also wozu genau brauch ich jetzt die 0? |
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10.09.2005, 17:10 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Von oben übernehmen wir mit den Anschlussbedingungen . Neu hinzukommen jetzt aber die zweiten Ableitungen . Damit ist auch klar, dass zur Erfüllung dieser nunmehr 6 Bedingungen ein Polynom dritten Grades nicht mehr ausreichen wird, sondern ein Polynom wievielten Grades? |
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10.09.2005, 17:13 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Polynom fünften Grades? |
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10.09.2005, 17:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig, genau wie Jochen es oben schon erwähnt hatte. |
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10.09.2005, 17:34 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay... Lautet das Lösungssystem also so: a+b+c+d=0 27a+9b+3c+d=2 3a+2b+c=0 27a+6b+c=0 20a+12b+6c+2d=0 540a+108b+18c+2d=0 ? Hoffentlich! |
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10.09.2005, 18:06 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Struktur nach entnehme ich, dass du die ersten vier Gleichungen mit dem alten kubischen Ansatz aufgestellt hast, und die letzten beiden Gleichungen mit dem neuen Ansatz fünften Grades . Was glaubst du denn, ob dieses Vorgehen richtig sein kann??? |
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10.09.2005, 18:19 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nee, das Vorgehen kann nicht richtig sein... Sieht es so besser aus: a+b+c+d+e+f=0 243a+81b+27c+9d+3e+f=2 5a+4b+3c+2d+e=0 405a+108b+27c+6d+e=0 20a+12b+6c+2d=0 540a+108b+18c+2d=0 ? |
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10.09.2005, 18:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ anna_88 Wenn du deinen Ansatz einmal ganz zu Ende durchgerechnet hast, kannst du meinen Vorschlag begutachten. Er verwendet Symmetrieeigenschaften, um den Rechenaufwand zu verringern. Die ganze Sache kann man nämlich wesentlich vereinfachen, wenn man die Straßen so ins Koordinatensystem legt, daß die Mitte des Verbindungsstückes gerade der Ursprung ist. Nehmen wir die Aufgabe a) und betrachten wir die Halbgeraden Jetzt kann man für die kubische Funktion wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung den Ansatz wählen und hat die Bedingungen Man berechnet ohne Mühe , also Jetzt muß man alles um 2 nach rechts verschieben, also durch substituieren, und um 1 nach oben verschieben, also 1 addieren: Das war's. Und genauso kann man bei b) vorgehen: ist die gesuchte Funktion. |
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10.09.2005, 19:05 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold Wenn du schon empfiehlst, den bisherigen Ansatz durchzurechnen, dann hättest du bei der Gelegenheit auch gleich mal den Fehler in den ersten beiden Gleichungen korrigieren können:
Aber so ist er, unser Leo - immer selbstverliebt die eigenen eleganten Ansätze propagieren... |
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10.09.2005, 19:09 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Arthur: Ich hab den Fehler grad auch schon selbst gefunden! |
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10.09.2005, 20:41 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Leopold: Danke für den Tipp mit der Vereinfachung. Unser Lehrer hat aber gesagt, wir sollen das mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen. Ich bin aber leider mit 6 Variabeln total überfordert! Mir fehlt einfach "das mathematische Auge" dafür... Hatten bis jetzt auch erst höchstens vier... Hab hier rumprobiert und ich krieg es einfach nicht hin Naja, wenn mir jetzt jemand die Lösung nennen würde, wär das ja eigentlich "pädagogisch nicht sinnvoll" ... Naja, ich würde es aber schon für sinnvoll halten, weil ich dann eine Musterlösung mit 6 Variabeln hätte ... Falls es erlaubt ist, wäre ich sehr dankbar für die Lösung ... |
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10.09.2005, 22:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich dachte, heutzutage hat jeder Gymnasialschüler einen TR, der 6x6 LGLS lösen kann. Ist wohl doch nicht so. |
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10.09.2005, 23:17 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, schon möglich, dass mein Taschenrechner es kann... dann weiß ich nur nicht, wie... Außerdem brauch ich eh die Zwischenschritte. Wenn niemand die Lösung posten will, dann lass ich die Aufgabe halt weg... ist ja auch nicht soooo tragisch... |
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10.09.2005, 23:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wir müssen das genauso rechnen wie du mit dem gaußalgorithmus solltest du das in den griff bekommen dann ist das zwar eine heidenarbeit, aber durchaus machbar mfg jochen |
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10.09.2005, 23:47 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
versuche mal hiermit: http://www.gym-kirn.de/hp/projekte/infos...the/gauss2.html eingeben mußt du aber schon selber! |
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11.09.2005, 12:41 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin jetzt mit Hilfe von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm auf folgende Lösung des LGS gekommen: f(x) = 3/8x^5 - 15/4x^4 + 55/4x^3 - 45/sx^2 + 135/8x - 19/4 Wenn ich 1 in die zweite Ableitung einsetze (um den Tiefpunkt zu prüfen), komm f(x) = 0 raus. Es müsste aber eigentlich x>0 sein. Woran kann das liegen: Kann man automatischen Programmen zum Berechnen von LGS nicht trauen? Oder gibt es keine Lösung für die Aufgabe? Oder hab ich schon wieder was falsch gemacht? |
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11.09.2005, 12:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig, so haben wir das ja konstruiert: (s.o.).
(Mit x>0 meinst du wahrscheinlich ) Nein - wieso das denn??? Hier der Plot der ganzen Funktion: |
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11.09.2005, 12:53 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oops, hab das wieder mit Aufgabe a) verwechselt, weil man da ja den Tiefpunkt prüfen musste... Also gibt es bei b) keine hinreichenden Kriterien, die man prüfen kann? Die einzige Probe, die man machen kann: man setzt für x 1 bzw. 3 ein und es muss f(x) = 0 bzw. f(x) = 2 rauskommen. Richtig? |
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11.09.2005, 12:59 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und natürlich, dass erste und zweite Ableitungen an den Stellen 1 und 3 jeweils gleich Null sind. |
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11.09.2005, 13:10 | anna_88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, ok... kommt alles hin! Also wär die Aufgabe jetzt endlich geschafft... Ich muss nur noch das automatisch errechnete LGS nachvollziehen können... Aber ich denke, das werd ich wohl hinkriegen. Vielen Dank noch einmal für die Tipps von euch allen! Liebe Grüße, Anna |
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