Kreisgleichung |
| 25.03.2004, 20:10 | Verena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kreisgleichung gibt es eine Kreisgleichung im DREI dimensionalen Raum? Also der Mittpunkt hat 3 Koordinaten und den Radius hab ich auch schon errechnet. Wie erstelle ich denn jetzt die Kreisgleichung ohne das es eine Kugel wird?? 
danke. verena |
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| 25.03.2004, 20:13 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kreisgleichung GAR NICHT! 
Dazu brauchst du 2 Gleichungen 1) Kugelgleichung + 2) Ebenengleichung Schade, gell, aber nicht zu ändern. |
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| 25.03.2004, 20:35 | Verena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
JA die hab ich auch. also eine Ebene schneidet aus einer kugel einen kreis aus. wie geht das jetzt mit der kreisgleichung??? |
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| 25.03.2004, 20:45 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst ja die Ebenengleichung nach einer Variable auflösen und in die Kugelgleichung einsetzten! Aber ob du dann eine einfachere Beschreibung kriegst, als mit 2 Gleichungen frag ich mich schon. Wieso willste unbedingt nur eine haben? |
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| 25.03.2004, 22:05 | Polarfuchs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eliminiert man eine Variable,hat man leider nur noch die Gleichung einer ebenen Kurve. Will man die Raumkurve nicht als Schnitt zweier Flächen darstellen,kommt man an der Parameterdarstellung (eine Gleichung pro Koordinate) nicht vorbei. Polarfuchs |
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| 25.03.2004, 22:11 | Drödel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Polarfuchs Der Meinung (mit den 2 Gleichungen) bin ich auch (siehe mein erster "Kommentar"). Aber die Parameterdarstellung hab ich glatt "verschwitz" - die gibts ja auch noch - nur ... ich glaube das wird Verena auch nicht wollen, oder? |
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| 25.03.2004, 22:21 | Polarfuchs | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Drödel Achso,alles klar! Ich denke auch nicht,daß Verena das will.Ansonsten hätte ich mich nicht so kurz gefasst!
Naja,Raumkurven sind ne eklige Angelegenheit.. Polarfuchs |
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| 18.04.2004, 00:38 | ButtFluff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo miteinander. Ich habe das selbe Problem wie es Verena einmal hatte: Aufgabe: Ebene E: 2x1-2x2+x3 = 9 Kugel K: (x1-4)^2 + (x2+11)^2 + (x3-15)^2 = 225 Berechnen Sie für den Schnittkreis von K und E die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius. Leider habe ich so etwas in der Schule noch nie gemacht - nur mal ganz flüchtig die Kugelformel angekratzt aber auch ohne das Teil irgendwie anzuwenden. Wäre also sehr dankbar wenn mir jemand einen Tipp hätte in welche Richtung man hier denken muss. |
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| 18.04.2004, 14:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kreisgleichung
Wir haben schon einmal über diese Sache diskutiert, @Drödel, du warst auch dabei, also so ganz vorbehaltslos kann man da nicht zustimmen. Es gibt auch eine Parameterform des Kreises in , welche gar nicht mal so ekelig ist. Eine Kreisgleichung, in der der Ortsvektor OM zum Mittelpunkt M und zwei in der Kreisebene liegenden Vektoren U und V, die aufeinander senkrecht stehen und den Betrag r haben, mittels Winkelfunktionen des Parameters miteinander verknüpft werden. Die beiden Vektoren (U, V) müssen in der Kreisebene liegen, aufeinander senkrecht stehen und jeweils den Betrag r haben. Die Parameterform des Kreises k[M;r;E]: X = M + U*cos(t) + V*sin(t) --- t € IR, U, V € E, Winkel(U,V) = 90°, |U| = |V| = r Beispiel: M(-40|30|20), r = 15, E: (2;-2;1).X = -160, A(-51/20/18) € E Dem Kreis ist ein Quadrat ABCD einzuschreiben. Wir ermitteln zwei aufeinander senkrecht stehende Vektoren U, V in E, die die Länge 15 haben: Der erste (U) ist MA = (-11;-10;-2), |MA| = r = 15. Der zweite, V, muss sowohl senkrecht auf U, als auch auf (2;-2;-1) [Normalvektor der Ebene] stehen, er ist also das Vektorprodukt von (-11;-10;-2) und (2;-2;-1)! | 2 -11 i| |-2 -10 j| = V = (-6;15;-42), abgekürzt (2;-5;14), |-1 -2 k | letzterer hat (zufällig) bereits die geforderte Länge 15 (da 4 + 25 + 196 = 225). Die Kreisgleichung lautet also X = (-40;30;20) + (-11;-10;-2)*cos(t) + (2;-5;14)*sin(t) Aus dieser ergibt sich nochmals der Punkt A, wenn der Winkel t = 0 gewählt wird und C, wenn t = 180°. C = (-40;30;20) - (-11;-10;-2) C = C(-29|40|22) Der Punkt B resultiert aus t = 90°: Wir setzen nun für cos(t) = 0 und sin(t) = 1: B = (-40;30;20) + (-11;-10;-2)*cos(t) + (2;-5;14)*sin(t) B = (-40;30;20) + (2;-5;14) = B(-38|25|34) D folgt aus t = -90°: cos(t) = 0 und sin(t) = -1: D = (-40;30;20) - (2;-5;14) = D(-42|35|6) B und D erscheinen vertauscht, wenn der Umlaufsinn bei der Bezeichnung des Quadrates geändert wird. Das Schöne an der Parametergleichung des Kreises ist letztendlich, dass man durch Variation von t jeden beliebigen Punkt des Kreises leicht ermitteln kann. Gr mYthos In diesem Forum wurde auch schon einmal eine ähnliche Aufgabe behandelt. http://www.matheboard.de/thread.php?thre...=kreisgleichung |
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| 18.04.2004, 15:47 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kreismittelpunkt und -radius Ich würde an diese Aufgabe rein geometrisch herangehen: Zeichne einen Kreis und eine Sekante (Gerade, die den Kreis schneidet), am besten nicht durch den Kreismittelpunkt, sowie die Symmetrieachse dieser Figur. Jetzt stellst du dir vor, die ganze Figur rotiert um ihre Symmetrieachse. Dann hast du genau die Situation deiner Aufgabe: Der rotierende Kreis wird zur Kugel, die rotierende Sekante wird zur Ebene. Mittelpunkt und Radius der Kugel können aus der Kugelgleichung abgelesen werden. Jetzt bestimmst du zunächst den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene (Tip: HNF). Den gesuchten Kreisradius erhältst du jetzt einfach mit Pythagoras. Und um den Kreismittelpunkt zu berechnen, würde ich jetzt einfach das Lot zur Ebene durch den Kugelmittelpunkt (ich nenne es h) mit der Ebene schneiden. (Als Richtungsvektor von h taugt ein Normalenvektor der Ebene. Ein solcher kann wiederum der Ebenengleichung entnommen werden.) |
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| 04.11.2006, 14:16 | hadisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| kreisgleichung Ich wollte gestern die Kreisgleichung im 3dim. Raum herleiten - ganz schoen haarig ! Ich denke jedoch, dass ich eine interessante Lösung gefunden habe: Ausgangspunkt meiner Überlegungen war der Schnitt einer Ebene mit eine Kugel, wobei der Mittelpunkt der Kugel R auf der Ebene liegt, so dass r(Kugel) = r(Kreis). 1) Normalform der Ebene d = Q * N (Spezialfall Q=R führt zu d = R*N) 2) Form mit Ortsvektor d*N und 2 normieten senkrechten Richtungsvektoren X', Y' denken, die quasi ein rechtwinkliges 2dim. Koordinatensystem im 3dim. Raum aufspannen 3) Punkte auf der Kreisbahn werden erreicht durch P = R + X'*r*sin(phi) + Y'*r*cos(phi) mit a) phi = 0...360° b) X' = (R - d*N) / |R - d*N| (Differenzvektor normiert, d = R*N) c) Y' = N x X' (Vektorprodukt) Das kann man doch eine allgemenie Kreisgleichung nennen, oder nicht ? Ich habe sie allerdings noch mit keinem Beispiel auf ihre Richtigkeit getestet, bin aber sehr zuversictlich 
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