Briefproblem - Erwartungswert und Varianz

11.09.2005, 18:16	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Briefproblem - Erwartungswert und Varianz n Briefe an n verschiedene Personen werden zufallig in n an diese Personen adressierte Briefumschläge gesteckt. Sei X die Zahl der korrekt adressierten Briefe. Berechnen Sie EX und VarX . Meine Idee ist: $\begin{eqnarray} EX=\sum X(\omega) P(\omega) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_\omega=\begin{cases}1 &\quad \text{Richtig adressiert}\\0 &\quad \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Die wahrscheinlichkeit für jeden Brief richtig Adressiert zu sein beträgt $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ da es ja n verschiedene Briefe gibt und es für jeden Brief nur einen richtigen Umschlag gibt. Von der Logik her würde ich sagen, für den ersten Brief gibt es $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ möglichkeiten für den nächsten nur noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ ... Aber das ist ja keine wirklich formale Berechnung noch komme ich so auf einen Erwartungwert
11.09.2005, 19:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Günstiger ist die Herangehensweise, das Problem nach Briefen aufzutrennen: $\begin{eqnarray} X=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_k = \begin{cases}1 &\quad \text{Brief Nr.}\;k\;\text{ ist richtig adressiert}\\0 &\quad \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Dann sind die $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ zwar nicht unabhängig voneinander, aber das ist bei der Berechnung des Erwartungswertes der Summe auch gar nicht nötig!!! Und der Erwartungswert eines einzigen $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ ist ja nicht so schwierig.

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