Quadrataufgabe

Neue Frage »

14.09.2005, 13:00	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrataufgabe Hi , zum besseren Verständnis habe ich ein Bild angehängt. Die Quadratpflanze: Stellt euch ein Quadrat vor mit der Seitenlänge 1 Le ( Längeneinheit), jeden Tag bilden sich an 3 der Seiten ( siehe Bild) weitere Quadrate mit nur noch 1/3 Le Käntenlänge und so geht es weiter. Also hat zum Beispiel ein Blatt von 2. Tag nur noch die Kantenlänge 1/9 Le. Zu meiner Frage 1) Wieviel Rechne ich den Umfang der gesamten Figur nach dem n-ten.Tag aus und 2) Wie rechne ich die Flächeninhalt der gesamten Figur nach dem n-ten Tag aus Zu 1) 0. Tag : 41 = 4 Umfang 1. Tag : 41 +3* (2/3)^1 = 6 Umfang 2. Tag : 41+3(2^3)^1+ 9*(4^9) = 10 Umfang 3. Tag :18 32 Stimmt das bis jetzt?
14.09.2005, 14:48	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schon mal etwas von Fraktalen gehört oder sogar schon damit gearbeitet?. Das dieses Fraktal selbstähnlich ist,kannst du wahrscheinlich noch erkennen. Und nun überlegt man sich folgendes: am ersten Tag erscheinen 3 neue Quadrate am 2.Tag: $\begin{eqnarray} 3^2 \end{eqnarray}$ am 3.Tag: $\begin{eqnarray} 3^3 \end{eqnarray}$ ... am n-ten Tag: $\begin{eqnarray} 3^n \end{eqnarray}$ Die Seitenlängen sind wie du schon richtig erkannt hast 1/3,1/9...also allgemein $\begin{eqnarray} \frac{1}{3^n} \end{eqnarray}$ Dami kannst du dann erst mal den Flächeninhalt ausrechnen. Wenn du dabei eine schöne allgemeine Formel erhalten willst, dann kannst du noch die Formel für eine geometrische Reihe verwenden. Für den Umfang kannst du einfach sagen, dass du bei jeden neuen Quadrat nur 2 Seiten beachtest, da ja die Anlageseite wegfällt. Dazu kannst du dir ja mal selbst eine Formel ausdenken Zu deinem Ansatz muss ich leider sagen, das ich erst mal als Umfang nicht 4 sondern 3 am Anfang genommen hätte. Dann stimmt dein erster Tag noch, aber dein 2.Tag ist schon komplett falsch. Was hast du eigentlich dort gerechnet. Wenn ich deine Gleichung eintippe komme ich auf über 2 Millionen und das ist garantiert falsch
14.09.2005, 18:11	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
ja 4 ,6 ,8, 10, 12...?
14.09.2005, 19:23	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt richtig so. Und was ist mit den Flächeninhalten?
14.09.2005, 21:39	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
wie fass ich das dann in eine formel zusammen den umfang für das n-te ding
14.09.2005, 22:13	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also am besten schaust du dir deine Zahlen an und erkennst, dass sie immer um 2 steigen. Also lautet deine Formel 4+2*n
Anzeige

15.09.2005, 18:11	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
ok gut bin jetzt auch auch 4+2n gekommen. nun zu den flächeninhalten A vom 0-ten Tag: 11 = 1 A von 1-Tag = 11+3(1/9) =12/ 9 = 4/3 A vom 2-Tag= 11+3(1/9)+ 9 * ( 1/81) = 13/9 A vom 3- Tag = 14/9 So beim allgemeinen hab ich Probleme. Der flächeninhalt nur von den neu dazugekommenen Quadraten am n-ten Tag müsste doch sein: (3^n)* (1/ n^2) oder? Nun wie bilden ich daraus so eine Art Summenfunktion oder stimmt das überhaupt?? Danke
15.09.2005, 19:16	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
würde vielleicht sagen (3^n )* 1/ 9^n ???
15.09.2005, 19:24	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt stimmt deine Formel. Nun musst du die ganzen natürlich aufzusummieren. Dazu würde ich erst mal verschlagen, dass du ein Mal die Potenzgesetze anwendet(kleiner Tipp: $\begin{eqnarray} 3^2=9 \end{eqnarray}$ Und dann musst du wissen, ob die die Formel für eine geometrische Reihe kennst.
15.09.2005, 19:28	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
(3^n / 9^n ) = (1^3)^n Stimmt das?
15.09.2005, 19:29	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Aber nun musst du diese Terme für n von 1 bis zu deinem gewünschten Tag aufsummieren. Weißt du was eine geometrische Reihe ist? Und weißt du wie man sie berechnet
15.09.2005, 19:32	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
S = ((1/3)^n+1 -1 )/( (1/3)^n -1) stimmt das? wie sieht es mit dem grenzwert aus??
15.09.2005, 19:41	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub du hast dich bei deiner Formel vertan. $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~a^i=\frac{a^{n+1}}{a-1}-\frac{a}{a-1} \end{eqnarray}$ Wenn du die richtige Formel hast, dann kannst du dir einfach überlegen, welcher Wert herauskommt, wenn du n gegen unendlich gehen lässt
15.09.2005, 19:47	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
bei mir kommt grenzwert -1 raus kann aber nicht sein. wie hast du den term umgeformt??? dankeschön
15.09.2005, 19:53	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal ist a=1/3 soweit bist du hoffentlich auch schon gekommen. Das $\begin{eqnarray} 1/3^n \end{eqnarray}$ gegen 0 geht ist dir hoffentlich auch noch klar. somit spielt nur noch das $\begin{eqnarray} -\frac{a}{a-1} \end{eqnarray}$ eine Rolle. Da setzt du einfach dein a ein und erhälst $\begin{eqnarray} -\frac{1/3}{1/3-1}=\frac{1/3}{2/3}=1/2 \end{eqnarray}$ Nun hast du allerdings den Flächeninhalt des Quadrates am Anfang vergessen, da der (1/3)^0 beträgt. Dieses addierst du noch und kommst auf 1,5
15.09.2005, 19:56	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
warum ist a nicht (1/3)^n
15.09.2005, 20:03	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
warum ist a nicht (1/3)^n http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe schau mal die formel an bezüglich q
15.09.2005, 20:10	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, wenn ich dich mit meiner Variablenbelgung etwas verwirrt habe. Bei der Form von Wikipedia ist $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ und das q=1/3 Wenn du das einsetzt kommst du auch auf 3/2
15.09.2005, 20:15	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
welchen flächeninhalt hat es dann am 2.ten tag??
15.09.2005, 20:21	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen wir mal mit der Formel von Wikipedia: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{(1/3)^{x+1}-1}{1/3-1}=-\frac{3(1/3^{x+1}-1)}{2}=\frac{3-1/3^x}{2} \end{eqnarray*}$ Nun ist x=2 daraus folgt f(2)=(3-1/9)/2=13/9
15.09.2005, 20:57	SnIper	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dankeschön

Neue Frage »

Antworten »

Quadrataufgabe

Verwandte Themen