euklidischer Vektorraum

05.03.2008, 15:16

der kleine Chemiker

euklidischer Vektorraum

Hallo

, ich bin neu hier und hab´ n kleines Problem mit einer Mathematik-Übung! wäre cool wenn mir jemand helfen könnte damit Gott

ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb R)^{3} \end{eqnarray*}$ mit < , > ein euklidischer Vektorraum, wenn das Skalarprodukt wie folgt definiert ist:
< , > : $\begin{eqnarray*} (\mathbb R)^{3} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} (\mathbb R)^{3} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}\end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \left(v_{1} \cdot w_{1} \right) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \left(v_{1} \cdot w_{2} \right) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \left(v_{2} \cdot w_{1} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left(v_{2} \cdot w_{2} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left(v_{3} \cdot w_{3} \right) \end{eqnarray*}$

und:
ist < , > positiv definit für:
< , > : $\begin{eqnarray*} (\mathbb R)^{3} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} (\mathbb R)^{3} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} (\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} <\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}\end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \left(v_{1} \cdot w_{1} \right) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2} \cdot v_{1} \cdot w_{2} \right) \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2} \cdot v_{2} \cdot w_{1} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left(v_{2} \cdot w_{2} \right) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \left(v_{3} \cdot w_{3} \right) \end{eqnarray*}$

05.03.2008, 18:23

Mazze

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Zitat:

Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt.

Das steht auf Wikipedia. Aber oft wird für ein Skalarprodukt schon die positive Definitheit gefordert. Das heisst Du musst hier zeigen das die definierte Form wirklich ein Skalarprodukt ist (obwohl die Aufgabenstellung das ja schon suggeriert).

Zum zweiten, sollst Du die positive Definitheit zeigen?

05.03.2008, 20:13

WebFritzi

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Schildere bitte dein Problem etwas genauer. Danke.

06.03.2008, 13:51

der kleine Chemiker

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Also das problem ist folgendes:

Wie kann ich für den ersten Teil zeigen dass es sich um ein Skalarprodukt handelt? Wikipedia und Bücher hab ich bereits konsultiert aber nicht gefunden was mir dabei hilft. Laut Wikipedia ist ja jeder Vektorraum der ein Skalarprodukt besitzt ein euklidischer Vektorraum. Nur wie kann ich dass durch mit Rechnung/Begründung (so steht es in der Aufgabenstellung) zeigen?

Das zweite Problem betrifft die positive Definitheit des definierten Skalarprodukts.
Wie kann man das durch eine Rechnung beweisen oder zeigen?

06.03.2008, 14:02

WebFritzi

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Du musst insgesamt zeigen, dass dein Produkt eine Bilinearform (d.h., in jeder Komponente linear) ist und dass es positiv definit ist.

Fangen wir doch mal mit dem Beweis dafür an, dass das Produkt linear in der ersten Komponente ist. Dazu musst du für beliebige Vektoren u,v,w und eine beliebige Zahl t zeigen, dass gilt:

1) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>,
2) <tu,w> = t<u,w>.

Ist dir das möglich?

06.03.2008, 15:25

der kleine Chemiker

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Ja das ist bei beiden Skalarprodukten möglich wenn ich es richtig durchgerechnet habe. Und nun?

06.03.2008, 16:36

WebFritzi

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Und nun schreibst da das hier rein, damit man auch sieht, was du gemacht hast.

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