Hilfe beim Paralellogramm

14.09.2005, 14:52

Hansel

Hilfe beim Paralellogramm

Hallo!
Ich habe als Aufgabe aufbekommen, dies hier zu beweisen:
a²+b² = 1/2 * (c²+d²)

c und d sind die beiden Diagonalen sowie a und b die beiden Seiten.

Ich habe mir folgendes überlegt, komme damit aber nicht weiter:

Es wird ein rechtwinkliges Dreieck gebildet mit der Höhe von a durch den Schnittpunkt von c und d zu dem Schnittpunkt von a und b.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

14.09.2005, 15:35

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Eine Frage vorab: Hast du schon Vektorrechnung gehabt? Dann ist der Beweis nämlich ein Einzeiler.

14.09.2005, 15:41

Hansel

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ne hatte ich noch nicht bin jetzt Klasse 10

14.09.2005, 16:43

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Dann schau dir mal die unten stehende Skizze an, insbesondere die drei rechtwinkligen Dreiecke ABT, BCT und BST.

Ich sage nur: Pythagoras

14.09.2005, 17:30

Hanse

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Vielen Dank für deine Hilfe!

Gut, ich kann dann die Gleichungen aufstellen.

(AB)² = (AT)²+(TB)²
(BS)² = (ST)²+ (TB)²
(BC)² = (CT)²+ (TB)²

Ich kenne aber doch die Strecken (ST) (TB) und (TC) nicht. Was soll ich denn dann damit tun?

14.09.2005, 18:26

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Du weißt doch aber hoffentlich, dass der Schnittpunkt S der beiden Diagonalen diese gerade jeweils halbiert. Damit kannst du deine Diagonalenlängen c und d einsetzen. Eins gebe ich dir noch vor, den Rest versuchst du allein:

$\begin{eqnarray*} \overline{AT} = \overline{AS}+\overline{ST} = \frac{\overline{AC}}{2}+\overline{ST} = \frac{c}{2}+\overline{ST} \end{eqnarray*}$

Dasselbe für $\begin{eqnarray*} \overline{CT} \end{eqnarray*}$ . Und dann willst du ja irgendwie auf die Struktur $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = \overline{AB}^2+\overline{BC}^2 \end{eqnarray*}$ kommen - welche Gleichungen musst du da wohl addieren? Augenzwinkern

EDIT: Entschuldigung, die Diagonalenlängen heißen bei dir ja c und d, statt e und f.

14.09.2005, 18:49

Hansel

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Also, (CT) = (CS)-(ST) = e*1/2 - (ST)

Das setze ich in meine Pythagoras-Gleichungen ein:
(AB)² + (BC)² = [ e*1/2 + (ST)]²+ (TB)² + [e*1/2 - (ST) ]²+ (TB)²

Das kann ich ja ausmultiplizieren, aber so wird das ja immer komplizierter.

verwirrt

Langsam habe ich das Gefühl, das ich irgendwie auf dem Schlauch stehe...

14.09.2005, 19:03

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Zitat:

Original von Hansel
Das setze ich in meine Pythagoras-Gleichungen ein:
(AB)² + (BC)² = [ e*1/2 + (ST)]²+ (TB)² + [e*1/2 - (ST) ]²+ (TB)²

Das kann ich ja ausmultiplizieren, aber so wird das ja immer komplizierter.

Nein, wird es nicht! Vieles kürzt sich weg, und der Rest löst sich mit Gleichung (2) im Wohlgefallen auf.

P.S.: Es gibt auch eine Lösung über den Kosinussatz, aber die ist nur wenig kürzer (hier sind wir nämlich gleich fertig). Außerdem war ich mir nicht sicher, ob du den Anfang 10.Klasse schon kennst.

14.09.2005, 20:07

Hansel

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Ausmultipliziert und gekürzt lautet es dann:

c²*1/2+ 2*(ST)²+2*(TB)² = a²+b² | /2
c²*1/4 + (ST)²+ (TB)² = [a²+b²]/2

Das setze ich ein in
d*1/2 =(ST)² + (TB)² ; also

1/4 * [ c²+d²] = [a²+b²]*1/2 |*2
1/2 *[c²+d²] = a²+b²
Das ist ja das, was zu beweisen war.

Vielen Dank für deine schnelle und verständliche Hilfe/Erklärungen. smile

Hansel

14.09.2005, 20:10

Hansel

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PS: Ja, du hast richtig vermutet, den Kosinussatz kenne ich noch nicht.

14.09.2005, 20:15

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Anzumerken wäre noch, dass die spezielle Lage der Punkte (also T zwischen S und C) nicht immer eintritt, sondern im speziellen hier aus

$\begin{eqnarray*} a\geq b, c\geq d \end{eqnarray*}$

folgt. Aber durch entsprechende Drehung/Spiegelung des Parallelogramms ist das immer erreichbar - denn die Behauptung ist ja hinsichtlich solcher Transformationen symmetrisch.

Kurz gesagt: Die obige Lage ist "o.B.d.A."

15.09.2005, 06:59

Leopold

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Alternativ könnte man, statt die Höhe einer Diagonalen einzuführen, auch mit der Höhe einer Parallelogrammseite arbeiten.

Wenn $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Höhe von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ aus auf die (verlängerte) Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ das Stückchen von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zum Höhenfußpunkt, so gelten:

$\begin{eqnarray*} (a+u)^2 + h^2 = c^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-u)^2 + h^2 = d^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt beide Gleichungen addieren und $\begin{eqnarray*} u^2 + h^2 = b^2 \end{eqnarray*}$ beachten. (Wenn man $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ als vorzeichenbehaftete Länge einführt, könnte man sogar auf Fallunterscheidungen verzichten.)

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