Länge eines Graphen.

06.03.2008, 12:22

-Mischka-

Länge eines Graphen.

Hallo, ich soll in der Schule herleiten, wie man die Länge einer Kurve berechnet.

Hier mein Ansatz:

Ich zerlege die Kurve in viele kleine Teile, und ziehe dann gerade Linien, deren Länge ich berechnen kann.

dabei kommt folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} {\Delta s}^2={\Delta x}^2 + {\Delta y}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta s = \sqrt{{\Delta x}^2 + {\Delta y}^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta s = \sqrt{{\Delta x}^2(1 + \frac{{\Delta y}^2}{{\Delta x}^2})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Delta s ={\Delta x} \sqrt{1 + \frac{{\Delta y}^2}{{\Delta x}^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{{\Delta y}^2}{{\Delta x}^2} = f'(x) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \Delta s ={\Delta x} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \end{eqnarray*}$

Einziger Haken, damit das mit der Abl stimmt, muss ich Delta x gegen null laufen lassen, dann ist aber die ganze Wurzel 0, wie lass ich also das dumme delta x verschwinden, damit ich einfach nur noch integrieren muss, um die Länge zu erhalten?

06.03.2008, 12:53

klarsoweit

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RE: Länge eines Graphen.

Zitat:

Original von -Mischka-
$\begin{eqnarray*} \frac{{\Delta y}^2}{{\Delta x}^2} = f'(x) \end{eqnarray*}$

Richtig muß es heißen: $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0}~\left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 = (f'(x))^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von -Mischka-
Einziger Haken, damit das mit der Abl stimmt, muss ich Delta x gegen null laufen lassen, dann ist aber die ganze Wurzel 0, wie lass ich also das dumme delta x verschwinden, damit ich einfach nur noch integrieren muss, um die Länge zu erhalten?

Am besten machst du folgendes:

In $\begin{eqnarray*} \Delta s = \Delta x \cdot \sqrt{1 + \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}} \end{eqnarray*}$ durch delta x dividieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta s}{\Delta x} = \sqrt{1 + \frac{(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2}} \end{eqnarray*}$

Grenzwert für delta x gegen Null bilden:

$\begin{eqnarray*} s'(x) = \sqrt{1 + (f'(x))^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}~s'(x)~dx = \int_{x_1}^{x_2}~\sqrt{1 + (f'(x))^2}~dx \end{eqnarray*}$

06.03.2008, 15:50

-Mischka-

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OK, THX!!!

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