Nullstellen

06.03.2008, 18:00

Miller25

Nullstellen

Hallo ich verzweifle an der Nullstellenbestimmung dieser Funktion:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=2x^3-6tx-2t \end{eqnarray*}$

wie komme ich dran?

Ich schaffe es nicht die Nullstelle zu erraten.

Danke

06.03.2008, 18:12

Calvin

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Ich fürchte, da wirst du vergeblich raten. Woher kommt diese Aufgabe?

06.03.2008, 18:17

Miller25

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Aus unserem Schulbuch.
Und zwar ist das die 2te Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion.
Da nur die Nullstellen des Zählers gesucht werden, habe ich den Nenner weggelassen.
Weißt du wie ich die Nullstellen sonst berechnen kann?

06.03.2008, 18:55

Romaxx

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Könnest du die komplette Aufgabe oder wenigstens die Ausgangsfunktion posten. Nichts gegen deine Ableitkünste Freude

.

Gruß

06.03.2008, 23:01

Miller25

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Die Ableitung ist richtig, haben sie in der Klasse zusammen gemacht und auch die individuellen Ergebnisse stimmten überin.

Ich als "Klassenbester" hatte die Aufgabe herauszufinden wie man die Nullstellen bestimmt.
Nur finde ich leide keinen Ansatz, deswegen brauche ich dringend eure Hilfe.

06.03.2008, 23:10

kiste

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$\begin{eqnarray*} x=\left(-{{\sqrt{3}\,i}\over{2}}-{{1}\over{2}}\right)\, \left({{\sqrt{1-4\,t}\,t}\over{2}}+{{t}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3 }}}+{{\left({{\sqrt{3}\,i}\over{2}}-{{1}\over{2}}\right)\,t}\over{ \left({{\sqrt{1-4\,t}\,t}\over{2}}+{{t}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3 }}}}} \\ x=\left({{\sqrt{3}\,i}\over{2}}-{{1}\over{2}}\right)\,\left( {{\sqrt{1-4\,t}\,t}\over{2}}+{{t}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}+{{ \left(-{{\sqrt{3}\,i}\over{2}}-{{1}\over{2}}\right)\,t}\over{\left( {{\sqrt{1-4\,t}\,t}\over{2}}+{{t}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}}} \\ x=\left({{\sqrt{1-4\,t}\,t}\over{2}}+{{t}\over{2}}\right)^{{{1 }\over{3}}}+{{t}\over{\left({{\sqrt{1-4\,t}\,t}\over{2}}+{{t}\over{2 }}\right)^{{{1}\over{3}}}}} \end{eqnarray*}$

Trotzdem unwahrscheinlich dass eure Ableitung stimmt. Deswegen verweise ich einfach einmal auf den Post von Romaxx

06.03.2008, 23:29

Miller25

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Kiste kannst du mir vielleicht sagen wie du drauf kommst?
Das wäre sehr hilfreich und mit welchem Mittel du das gelöst hast.
Sieht aufjedenfall kompliziert aus und beinhaltet die komplexen Zahlen smile

06.03.2008, 23:34

kiste

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Ich habs (natürlich) in ein Programm eingegeben. Von Hand würde man das mit den Formeln von Cardano machen. Aber naja das macht keiner freiwillig LOL Hammer

http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

06.03.2008, 23:44

Miler25

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Alles klar ich werde euch morgen noch die Ausgangsfunktion posten habe die grade nicht parat.

Aber ein Hinweis dafür, dass die Ableitung richtig ist lässt die Teilaufgabe deuten, denn da muss man nciht explizit die Wendepunkte berechnen sondern begründen dass in bestimmten Intervallen Wendestellen liegen müssen.

07.03.2008, 09:15

Dual Space

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Eure ursprügliche Funktion (vor dem Ableiten) lautet also

$\begin{eqnarray*} g_t(x)=\frac{1}{10}x^5 -tx^3- tx^2 +c_1t +c_2,\qquad c_1,c_2\in\mathbb{R}? \end{eqnarray*}$

07.03.2008, 09:23

klarsoweit

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Wohl kaum. Siehe:

Zitat:

Original von Miller25
Und zwar ist das die 2te Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion.
Da nur die Nullstellen des Zählers gesucht werden, habe ich den Nenner weggelassen.

07.03.2008, 10:00

Dual Space

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wohl kaum. Siehe:

Zitat:

Original von Miller25
Und zwar ist das die 2te Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion.
Da nur die Nullstellen des Zählers gesucht werden, habe ich den Nenner weggelassen.

Grml ... habe ich überlesen. Sorry.

@Miller25: Poste doch bitte mal diejenige Funktion mit der alles begann.

07.03.2008, 15:02

Miller25

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+x+t} \end{eqnarray*}$

So überzeugt euch selbst.

Kiste ich verstehe einfach nicht die Seite auf Wikipedia.
Wie kommt man von der Substitution auf diese Form?

$\begin{eqnarray*} u^3+p\cdot u+q=0 \end{eqnarray*}$

Danke

07.03.2008, 15:16

tmo

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Hier ist eine ausführliche (zumindest ausführlicher als wikipedia) Herleitung der cardanischen Formeln.

Auch die Substitution ist dort in den einzelnen Schritten durchgeführt.

07.03.2008, 16:10

Romaxx

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Die Ableitung stimmt smile

08.03.2008, 13:14

Miller25

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So hab jetzt die Formel von Cardano begriffen.
Lieben danke tmo. Die Seite ist einfach Klasse und ganz einfach zu begreifen.

Die Lösungsformel lautet:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \end{eqnarray*}$

wobei:
$\begin{eqnarray*} p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}=-\frac{36t}{12}=-3t \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=-\frac{216t}{216}=-t \end{eqnarray*}$
ist.

Nun setze ich das in die Formel ein:

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[3]{\frac{t}{2}+ \sqrt{\frac{t^2}{4}-t^3}}+ \sqrt[3]{\frac{t}{2}- \sqrt{\frac{t^2}{4}-t^3}} =\sqrt[3]{\frac{t}{2}+ \frac{t\cdot\sqrt{-4t+1}}{2}}+ \sqrt[3]{\frac{t}{2}- \sqrt{\frac{t^2}{4}-t^3}} \end{eqnarray*}$

Die linke Seite der reelen Lösung habe ich so wie bei Kiste. Allerdings weiß ich nicht wie ich auf den zweiten Bruch komme.

Könnte mir da jemand helfen.

08.03.2008, 14:59

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Zunächst mal bist du dir hoffentlich bewusst, dass diese Formel im Reellen nur für $\begin{eqnarray*} t\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ klappt.

Für $\begin{eqnarray*} t\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ stehen unter den dritten Wurzeln echt komplexe Zahlen - in dem Fall hat die kubische Gleichung drei reelle Lösungen...

Bleiben wir mal bei $\begin{eqnarray*} t\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ :

Da kannst du in den inneren Quadratwurzeln Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{t^2}{4} \end{eqnarray*}$ ausklammern - aus der Wurzel herausgezogen wird $\begin{eqnarray*} \frac{|t|}{2} \end{eqnarray*}$ daraus:

$\begin{eqnarray*} y &=& \sqrt[3]{\frac{t}{2}+ \sqrt{\frac{t^2}{4}-t^3}} + \sqrt[3]{\frac{t}{2}- \sqrt{\frac{t^2}{4}-t^3}} = \sqrt[3]{\frac{t}{2}+ \frac{|t|\cdot\sqrt{1-4t}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{t}{2}- \frac{|t|\cdot\sqrt{1-4t}}{2}}\\ &=& \sqrt[3]{\frac{t}{2}+ \frac{t\cdot\sqrt{1-4t}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{t}{2}- \frac{t\cdot\sqrt{1-4t}}{2}} \end{eqnarray*}$

Warum letztere Gleichheit sowohl für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du dir selbst überlegen. Augenzwinkern

So, wie du es aufgeschrieben hast (der letzte Term), ist es übrigens für negative $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ falsch.

08.03.2008, 15:12

Miller25

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Die letzte Gleichheit müsste doch wegen: $\begin{eqnarray*} 1-4t<0 \Rightarrow t<\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ gelten oder nicht?

Ich verstehe deinen Schritt, bzw. hätte ihn genauso gemacht, außer das mit den Betragsstrichen.

Warum hat Kiste als Lösung etwas anderes stehen?
Er hat doch die Nullstellen mithilfe eines Programmes herausbekommen. verwirrt

08.03.2008, 15:36

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Zitat:

Original von Miller25
außer das mit den Betragsstrichen.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = |t| \end{eqnarray*}$ .

Die Vereinfachung $\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = t \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ falsch.

08.03.2008, 17:04

Miller25

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Das ist mir jetzt klar, aber womit erklärst du dir den Unterschied zum Ergebnis von Kiste?

08.03.2008, 17:40

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Ich weiß nicht wie es bei kiste aussieht, aber ich habe nicht unbedingtes Vertrauen zu den Ausgaben von CAS (=Computer-Algebra-Systemen). Gerade bei solchen Wurzeln habe ich da schon haarsträubende Dinge erlebt, was korrekte Vorzeichen betrifft. Die sehen das eher locker wie im komplexen: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} \end{eqnarray*}$ kennzeichnet da nicht einen Wert, sondern eine Menge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ komplexen Werten. Augenzwinkern

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Aber wie's aussieht, lässt du dich nur durch ein konkretes Beispiel überzeugen. Betrachten wir mal den Fall $\begin{eqnarray*} t = -\frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ , also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^3-3tx-t = x^3+\frac{3}{16}x+\frac{1}{16} = \left( x+\frac{1}{4} \right) \left( x^2-\frac{x}{4}+\frac{1}{4} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann bekommst du aber mit deiner Formel

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{\frac{t}{2}+ \frac{t\cdot\sqrt{-4t+1}}{2}}+ \sqrt[3]{\frac{t}{2}- \sqrt{\frac{t^2}{4}-t^3}} = \frac{1}{2}\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray*}$

heraus - das ist definitiv KEINE Lösung der Gleichung... unglücklich

EDIT: Ach du meinst den Term $\begin{eqnarray*} \frac{t}{\left( \frac{t}{2} + \frac{t\sqrt{1-4t}}{2}\right)^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$ bei kiste? Erweitere doch einfach mal mit $\begin{eqnarray*} \left( \frac{t}{2} - \frac{t\sqrt{1-4t}}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ , dann wird daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{t\left( \frac{t}{2} - \frac{t\sqrt{1-4t}}{2} \right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \frac{t^2}{4} - \frac{t^2(1-4t)}{4}\right)^{\frac{1}{3}}} = \left( \frac{t}{2} - \frac{t\sqrt{1-4t}}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ .

08.03.2008, 18:49

Miller25

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Super Arthur lieben dank

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