Vorstellungsprobleme

Neue Frage »

06.03.2008, 19:36	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorstellungsprobleme kann mir vllt jmd sagen, wie ich mir diese funktion vorstellen soll? $\begin{eqnarray} f: (0,\infty) \times (0,2\pi) \to R \end{eqnarray}$ geschweige denn, wie $\begin{eqnarray} \bigtriangleup f(\rho,\varphi) \end{eqnarray}$ ausschaut, wobei $\begin{eqnarray} \bigtriangleup \end{eqnarray}$ der Laplace-Operator ist. wie ich den dann ausrechne, weiß ich vllt, wenn ich mir die funktion vorstellen kann. daran haperts gerade.
06.03.2008, 19:53	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein Skalarfeld, auf dem man jedem Punkt auf einem unendlich langen Zylinder einen Wert in R zuweist.
06.03.2008, 19:57	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry! R ist hier der raum, in den abgebildet wird. die funktion soll in polarkoordinaten gegeben sein
06.03.2008, 20:02	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben. Du hast eine 2-dimensionale Menge, nämlich $\begin{eqnarray} (0, \infty) \times (0, 2\pi) \end{eqnarray}$ , die man sich als Fläche auf einem Zylinder vorstellen kann (Umfang 2pi und einer Halbgeraden als Ausdehnung), für die auf jedem Punkt ein Wert zugewiesen ist. Nennt man das nicht Skalarfeld?
06.03.2008, 20:08	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
das folgt alles aus dem kreuzprodukt? und ich dachte auch, dass die klammern hier (...) immer ein offenes intervall kennzeichnen, zumindest ist das bei unendlich immer offen.
06.03.2008, 20:11	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
UUUUPS. Natürlich sind die Klammern offen. Das ändere ich gleich. Das ändert aber nicht viel, da ich in meiner Erklärung schon von "ganzen" Intervallen (sry der mathematische Fachterminus ist mir als Schüler noch nicht ganz geläufig )ausgegangen bin. Man könnte höchstens noch erwähnen, dass die Werte 0 und 2pi sowie 0 jeweils ausgeschlossen sind.
Anzeige

06.03.2008, 20:12	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte, dass (0,unendlich) irgendwie den definitionsbereich für r und (0,2pi) den definitionsbereich für phi angibt, denn es soll ja in polarkoordinaten sein.
06.03.2008, 20:16	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht es hier um die Darstellung $\begin{eqnarray} r\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray}$ ?
06.03.2008, 20:19	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, kartesische koordinaten in polarkoordinaten lassen sich durch eine länge r und den winkel phi zwischen x-achse und "längenvektor" darstellen. und r läuft ja anscheinend beliebig ausser null und phi hat auch fast 2pi, nur eben die positive x-achse schein ausgeschlossen. ABER: das X suggeriert doch ein kreuzprodukt. wie muss ich das beachten?
06.03.2008, 20:23	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaja, aber $\begin{eqnarray} r\cdot e^{i\phi} \end{eqnarray}$ bedeutet meines Erachtens genau das (aufgrund der komplex definierten Sinus- und Kosinusfunktionen). Und das Kreuz bedeutet hier egtl nicht das geometrische Kreuzprodukt, sondern die Verknüpfung der Mengen (0, 2pi) und (0, oo), d. h. du hast ein 2-Tupel als Definitionsmenge, z. B. $\begin{eqnarray} (\frac{\pi}{2}, 3) \end{eqnarray}$ und bekommst durch eine gegebene Funktion durch eine Verrechnung der beiden Werte einen reellen Wert als Ergebnis.
06.03.2008, 20:28	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
okay...wieso zum teufel wird das dann auch als X geschrieben und nicht irgendwie anders. ich probier dann mal weiter und meld mich evtl noch mal. danke erstmal!
06.03.2008, 20:34	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil dieses Kreuz die Verknüpfung von Mengen bedeutet. Zum Beispiel ist R x R ein 2-dimensionaler Raum.
06.03.2008, 21:02	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
so, jetzt ists vllt etwas schwieriger. ich weiß wie der laplace operator für kartesische koordinaten aussieht. ich soll ihn ja für polarkoordinaten bestimmen. gegeben wurde mir ein "tipp": $\begin{eqnarray} \frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial r}) }{\partial \phi} (r,\phi) = \frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial \phi}) }{\partial r} (r,\phi) \end{eqnarray}$ wunderbar :S ich habe r in abhängigkeit von x und y dargestellt und auch phi in abhängikgeit von x und y. ein klitzkleiner ansatz wäre wundervoll
06.03.2008, 21:03	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Duedi schon richtig gesagt hat, das sind wohl die Polarkoordinaten die man hier verwendet. Was die Vorstellung angeht: Das Bild ist eine "Landschaft" im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , das heisst also im "normalen" dreidimensionalen Raum.
06.03.2008, 21:08	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry für den Doppelpost: Stell dir vor du hast zwei Koordinatensysteme, eines bei dem das "gewöhnliche" Achsenkreuz mit den Koordinaten $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ verwendet wird und das andere, in dem die Polarkoordinaten verwendet werden, das heisst $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Nun wie kann man die einen Koordinaten durch die anderen ausdrücken? Das kann man mit einer Abbildung $\begin{eqnarray} T:\mathbb R_{>0}\times[0,2\pi)\to\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (r,\phi)\mapsto(r\cos(\phi),r\sin(\phi)) \end{eqnarray}$ machen. Nun muss man zeigen, dass diese Transformation umkehrbar ist und dann die Umkehrfunktion bestimmen.
06.03.2008, 21:19	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
meine abbildung sollte doch in den R gehen. und der tipp - ist er sinnvoll oder gehts anders einfacher?
06.03.2008, 21:27	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss schon dass deine Abbildung in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gehen sollte, nur auf einmal fragtest du nach den Polarkoordinaten und wie man den Laplace-Operator umrechnen kann. Diese Transformation $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gibt dir die Antwort wie man die Koordinaten umrechnet. Ob das sinnvoll ist für dich musst du schon selbst entscheiden.
06.03.2008, 21:53	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, ich poste mal die komplette aufgabe. der laplace operator in kartesischen koordinaten ist für die funktion g, deren partielle ableitungen stetig differenzierbar sind, durch $\begin{eqnarray} \bigtriangleup g(x,y) := \frac{\partial \frac{\partial g}{x} }{\partial x} (x,y) + \frac{\partial \frac{\partial g}{y} }{\partial y} (x,y) \end{eqnarray}$ gegeben. bestimmen sie die polarkoordinaten von $\begin{eqnarray} \bigtriangleup \end{eqnarray}$ , d.h berechnen sie $\begin{eqnarray} \bigtriangleup f(r,\phi) \end{eqnarray}$ für eine in polarkoordinaten gegebene funktion f : (0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ) x (0,2 $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) --> R, deren partielle ableitungen stetig differenzierbar ist. HINWEIS: kettenregel; und diese komische identität aus vorigem post. es tut mir leid, als hätte es den anschein, dass ich die aufgabe fremdlösen lassen wolle, aber ich kann sie halt nicht anders formulieren und der laplace-operator kam nie und kommt nie wieder vor und das ist deshalb gewissermaßen ziemlich schwierig für mich.
06.03.2008, 21:55	Erol	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \bigtriangleup g(x,y) := \frac{\partial (\frac{\partial g}{\partial x}) }{\partial x} (x,y) + \frac{\partial (\frac{\partial g}{\partial y}) }{\partial y} (x,y) \end{eqnarray}$ so heißt es richtig :S
07.03.2008, 18:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, ich hab dir bereits die Koordinatentransformation angegeben. Sobald man gezeigt hat, dass diese bijektiv ist, hat man eine 1 zu 1 Beziehung zwischen dem x-y-Koordinatensystem und dem Polarkoordinatensystem. Ausserdem kann man dann die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} T^{-1} \end{eqnarray}$ bestimmen und damit auch den Laplace Operator in Polarkoordinaten angeben.

Neue Frage »

Antworten »

Vorstellungsprobleme

Verwandte Themen