bestimmung des kerns

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xole_X Auf diesen Beitrag antworten »
bestimmung des kerns
Hallo,
ich hab hier eine lineare Abbildung und soll davon den Kern bestimmen. jetzt wollte ich wissen, ob die lösung und das verfahren von mir richtig ist und allgemein andwendbar ist:



ich bringe das gleichungssystem auf die strenge stufenform:





edit: das sieht so aus



und wähle einen parameter z.B. x_3 = a und löse das gleichungssystem in abhängigkeit von a:

dann wär der kern:



die dimension des kern wäre also 1? und bei 3 unbekannten, wäre die dimension des Bildes 2 und die Gesamtdimension der Abbildung = 3?

Aber kann der der Kern auch die Dimension 2 haben? wenn ja, wie sieht sowas aus? ist dieses verfahren überhaupt richtig, weil aus unserem skript werde ich nicht so wirklich schlau...hab mich mehr oder weniger im inet informiert...

und wie bestimme ich jetzt mein Bild?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

An deiner Stufenform erkennt man doch sofort, dass der Kern nur aus dem Nullvektor besteht...
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm...ich hab mal die musterlösung kopiert, da steht aber nicht, dass der kern = 0 ist unglücklich
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Musterlösung stimmt, ist deine Zeilenstufenform falsch.
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du oder jemand anderes die bitte mal kontrollieren?
weil ich weiss nicht sonst, wie man auf die musterlösung kommen sollte...und ich entdecke leider keinen fehler in meiner zeilenumformung
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere doch einfach die dritte Zeile mit 2 und ziehe sie von der ersten ab. Dann wirst du sehen, dass du was falsch gemacht hast.
 
 
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

ups ja



und jetzt? stimmts jetzt wenigstens? wie komme ich zum bild?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle aus den Spaltenvektoren deiner Ausgangsmatrix zwei linear unabhängige aus. Diese bilden dann eine Basis des Bildes.
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

(2,0,1) (7,1,0) ?

kann ich immer 2 unabhängige spaltenvektoren aus der matrix nehmen?
oder was steckt genau dahinter?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xole_X
(2,0,1) (7,1,0) ?

kann ich immer 2 unabhängige spaltenvektoren aus der matrix nehmen?


Natürlich nicht. Nur, wenn der Rang 2 ist. Und das ist hier gemäß Dimensionsformel der Fall.
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Wähle aus den Spaltenvektoren deiner Ausgangsmatrix zwei linear unabhängige aus. Diese bilden dann eine Basis des Bildes.


darf ich dann auch diese beiden nehmen?

(2,0,1) und (3,1-2)?

die dimensionsformel geht ja so:
dim_abbildung = dim kern + dim bild

entspricht die dimension der abbildung der anzahl der unbekannten einer matrix?
oder wie bist du auf 3-1= 2 = dim bild gekommen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xole_X
die dimensionsformel geht ja so:
dim_abbildung = dim kern + dim bild

entspricht die dimension der abbildung der anzahl der unbekannten einer matrix?


Du würfelst hier einiges durcheinander. Die Dimension einer Abbildung gibt es nicht! In der Dimensionsformel ist die Dimension des Urbildraums der Abbildung gemeint. Und was sollen bitte die Unbekannten einer Matrix sein?
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

mit unbekannte meinte ich x1 x2 x3

"In der Dimensionsformel ist die Dimension des Urbildraums der Abbildung gemeint." warum hat mein urbildraum die dimension 3? wie bestimme ich die denn, bzw woraus hast du denn geschlossen, dass ich genau 2 lin. unabhängige vektoren brauche?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xole_X
mit unbekannte meinte ich x1 x2 x3


Es ist egal, was du meinst. Wichtig ist, was du schreibst. Und die Unbekannten einer Matrix gibt es nicht. Wenn etwas unverständlich ist, kommt man nicht weiter.


Zitat:
Original von xole_X
"In der Dimensionsformel ist die Dimension des Urbildraums der Abbildung gemeint." warum hat mein urbildraum die dimension 3?


Sei A eine mxn-Matrix. Die zugehörige Matrixabbildung lautet dann



Bei dir ist m = n = 3. Also geht f von IR^3 nach IR^3. Der Urbildraum ist somit der IR^3.


Zitat:
Original von xole_X
wie bestimme ich die denn, bzw woraus hast du denn geschlossen, dass ich genau 2 lin. unabhängige vektoren brauche?


Aus der Dimensionsformel. Den Kern haben wir ja bereits und wissen, dass dieser eindimensional ist. Also gilt nach Dimensionsformel

rang(A) = dim(IR^3) - din ker(A) = 3 - 1 = 2.
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Also gilt nach Dimensionsformel

rang(A) = dim(IR^3) - din ker(A) = 3 - 1 = 2.


zuerst mal danke für die antwort.

ne kleine frage hätte ich noch.
entspricht der rang einer Matrix, immer der Dimension des Bildes, weil du ja hier rang(A) schreibst?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xole_X
entspricht der rang einer Matrix, immer der Dimension des Bildes, weil du ja hier rang(A) schreibst?


Ja, genauso ist es. smile Dachte, das sei bekannt. Augenzwinkern
xole_X Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi


Sei A eine mxn-Matrix. Die zugehörige Matrixabbildung lautet dann



Bei dir ist m = n = 3. Also geht f von IR^3 nach IR^3. Der Urbildraum ist somit der IR^3.



noch ne kleine frage, du hast ja gesagt, bei der dimensionsformel bezieht man sich immer aufn Urbildraum....ist mein urbildraum R^n oder R^m?

was ist, wenn man von R^3 auf R^2 abbildet? auf was bezieht sich dann die dimensionsformel?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xole_X
Zitat:
Original von WebFritzi


Sei A eine mxn-Matrix. Die zugehörige Matrixabbildung lautet dann



Bei dir ist m = n = 3. Also geht f von IR^3 nach IR^3. Der Urbildraum ist somit der IR^3.



noch ne kleine frage, du hast ja gesagt, bei der dimensionsformel bezieht man sich immer aufn Urbildraum....ist mein urbildraum R^n oder R^m?


IR^n
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