Varianzberechnungen - Verschiebungssatz

17.09.2005, 13:41	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianzberechnungen - Verschiebungssatz Hallo! Wir haben bis jetzt nur folgende Formel für die Varianz kennen gelernt: $\begin{eqnarray} V(X) = (x_1-\mu)^2P(x=x_1) + (x_2-\mu)^2P(x=x_2) + .. +(x_n-\mu)^2P(x=x_n) \end{eqnarray}$ ich bin auf der Suche nach einer einfachreren Formel. Da scheint es auch was mit dem Verschiebungssatz zu geben. stimmt die Formel so? : $\begin{eqnarray} V(X)=x_1^2P(x=x_1) + .. + x_n^2P(x=x_n) - \mu^2 \end{eqnarray*}$ habs bei Wikipedia gefunden. Aber da steht glaub ich nicht richtig die FOrmel, sondern nur ein Beispiel. Gruß, aRo
17.09.2005, 21:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Die Formel ist eine Grundformel der Wahrscheinlichkeitsrechnung: $\begin{eqnarray} \mathrm{var}~X=\mathbb E~X^2-(\mathbb E~X)^2=\mathbb E~X^2-\mu^2 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS edit: $\begin{eqnarray} (\mathbb E~X)^2 \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} \mathbb E^2~X \end{eqnarray}$ eingefügt.
17.09.2005, 22:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@MSS Du verwendest $\begin{eqnarray} \mathbb E^2~X \end{eqnarray}$ in Anlehnung an $\begin{eqnarray} \sin^2 x \end{eqnarray}$ , nicht wahr? Ist aber eher unüblich, man verwendet doch lieber das leider etwas umständlichere $\begin{eqnarray} (\mathbb E~X )^2 \end{eqnarray}$ .
17.09.2005, 22:37	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Hmm ok, wenn's nicht so üblich ist ... . Ich verwende aber eigentlich ganz allgemein $\begin{eqnarray} f^2(x) \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} (f(x))^2 \end{eqnarray}$ , z. B. in der Quotientenregel. Ganz speziell benutze ich es auch beim Logarithmus: $\begin{eqnarray} \ln^2x \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
18.09.2005, 09:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Erwartungswert entspricht ja auf der Seite der Analysis eher einem Integral (was er in der Maßtheorie auch ist). Er ist ein Funktional, der einer Abbildung, nämlich der Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , eine reelle Zahl, nämlich $\begin{eqnarray} \mathcal{E}X \end{eqnarray}$ zuordnet. Wenn du also $\begin{eqnarray} \mathcal{E}^2 X = \left( \mathcal{E} X \right)^2 \end{eqnarray}$ schreibst, ist das, als würdest du $\begin{eqnarray} \left( \int_a^b \right)^2~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ \left( \int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x \right)^2 \end{eqnarray}$ schreiben. Meiner Erfahrung nach ist die Quadratschreibweise in der Analysis nur bei konstanten Funktionenbezeichnern wie $\begin{eqnarray} \sin, \ln \end{eqnarray}$ usw. üblich, nicht dagegen bei variablen wie $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ . Wobei ich hier kein absolutes Verbot aussprechen würde, es bleibt dem Autor überlassen, es dennoch zu tun, nur muß er es beim ersten Vorkommen in einem Halbsatz dem Leser mitteilen. Im übrigen wird $\begin{eqnarray} f^2 \end{eqnarray}$ eher im Sinne von $\begin{eqnarray} f \circ f \end{eqnarray}$ gebraucht. Und wenn du ein Buch aus der analytischen Zahlentheorie in die Hand bekommst, kann es dir auch passieren, daß jemand $\begin{eqnarray} \log^2 = \log \circ \log \end{eqnarray}$ schreibt.
18.09.2005, 11:07	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, vielen Dank! :-) Damit hab ich wieder einen kleinen Zeitvorteil g aRo
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18.09.2005, 11:18	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau - ist immer gut, wenn man Alternativen kennt.
19.09.2005, 15:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, danke Leopold. Werd ich mal drauf achten. Gruß MSS

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