Bogenmaß des Einheitskreises

10.03.2008, 21:30

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bogenmaß des Einheitskreises

Bin gerade dabei, im Zuge meiner Facharbeit das Bogenmaß des Einheitskreises analytisch zu bestimmen. Das Ergebnis, das ich bekomme, ist jedoch seltsam und stimmt auch nicht mit dem von Derive berechneten Ergebnis überein. Meine Überlegungen waren folgende:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S = \lim \limits_{\Delta x \to 0}\sum \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim \limits_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n} \sqrt{(\Delta x)^2 + (f(x_i+\Delta x)-f(x_i))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim \limits_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n} \sqrt{(\Delta x)^2 \cdot \left(1 + \frac{(f(x_i+\Delta x))^2-(f(x_i))^2}{(\Delta x)^2}\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim \limits_{\Delta x \to 0}\sum_{i=0}^{n} \Delta x \cdot \sqrt{\left(1 +\left( \frac{f(x_i+\Delta x)-f(x_i))}{(\Delta x)}\right)^2\right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \sqrt{1+(f'(x))^2}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \sqrt{1+\left(\frac{x^2}{1-x^2}\right)}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \sqrt{\frac{1}{1-x^2}}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \stackrel{u=1-x^2}{=} \int \frac{1}{\sqrt{u}\cdot (-2x)}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int \frac{1}{\sqrt{u}\cdot (-2\sqrt{1-u})}du \end{eqnarray*}$

EDIT: Hier hatte ich einen Fehler, doch wie mache ich weiter? Partialbruchzerlegung?

10.03.2008, 21:30

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry noch nicht fertig, falschen Knopf gedrückt.

10.03.2008, 21:46

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry für den dreifachen Post, ging aber leider nicht anders. Hat jemand ne Idee?

EDIT: Formelsammlung befragt: Integral in der drittletzten Zeile entspricht arcsin (x). Damit klappt das gut. Muss mir trotzdem noch Gedanken machen, wie man darauf kommt Big Laugh

Big Laugh

11.03.2008, 09:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Substitution u = 1 - x² ist ungeschickt. Besser ist x = sin(u). Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2008, 15:03

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich
$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{\frac{1}{1-(sin(u))^2}}\cdot cos(u)\cdot du \end{eqnarray*}$
Was mach ich jetzt? Hab schon überlegt, das durch die Substitution von dx in du entstehende zusätzliche cos(u) in die Wurzel zu ziehen und in sinus umzuwandeln. Bringt aber nicht viel.

11.03.2008, 15:05

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze doch erstmal $\begin{eqnarray*} 1-\sin^2 x = \cos^2 x \end{eqnarray*}$ . Dann kommst du auf ein Integral, dass du mit partieller Integration lösen kannst.

Anzeige

11.03.2008, 15:06

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Idee, ich benutze nur so ungern Formeln aus der Formelsammlung, dessen Herleitung ich nicht kenne Big Laugh

Big Laugh

. Ich probiers trotzdem mal damit. smile

smile

11.03.2008, 15:10

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein analytischer Beweis (also nicht am Einheitskreis) dafür ist nicht schwer.

Zeige durch Ableiten, dass $\begin{eqnarray*} h(x) := \sin^2 x+ \cos^2 x \end{eqnarray*}$ konstant ist und berechne $\begin{eqnarray*} h(0) \end{eqnarray*}$ .

11.03.2008, 15:11

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich jetzt bekomme ich arcsin x raus smile

smile

EDIT: Danke, tmo, jetzt ist mir das klar. Wink

Wink

11.03.2008, 15:11

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Was habe ich eigentlich von partieller Integration geredet? Braucht man ja gar nicht, kürzt sich ja alles raus smile

smile

11.03.2008, 15:14

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep der analytische Beweis ist klasse, hab mir jetzt auch noch ne geometrische Herleitung überlegt, die auch anschaulich ist.

11.03.2008, 15:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Gute Idee, ich benutze nur so ungern Formeln aus der Formelsammlung, dessen Herleitung ich nicht kenne

Also den trigonometrischen Pythagoras sollte eigentlich jeder Abiturient kennen. Ich werden den Prüfungskommissionen mal einen entsprechenden Hinweis geben. Big Laugh

Big Laugh

@tmo: es wäre nett, wenn du mir bei der Beantwortung von Fragen den Vortritt lassen würdest, wenn du siehst, daß ich online bin und mich vorher schon darum gekümmert habe. Wink

Wink

11.03.2008, 15:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

@tmo: es wäre nett, wenn du mir bei der Beantwortung von Fragen den Vortritt lassen würdest, wenn du siehst, daß ich online bin und mich vorher schon darum gekümmert habe. Wink

Wink

das mache ich normalerweise auch, nur du warst um ca. 15:04 offline (zumindest das ding da war rot), als ich mich dazu entschied hier zu antworten.

entschuldigung, wenn ich mich eingemischt habe Wink

Wink

11.03.2008, 15:19

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit:
Auf den Pythagoras hätte ich selbst kommen können *klatschgegendiestirn*. Und danke für den Tipp mit der Substitution, aber wie kommt man da drauf?^^

11.03.2008, 15:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
das mache ich normalerweise auch, nur du warst um ca. 15:04 offline (zumindest das ding da war rot), als ich mich dazu entschied hier zu antworten.

Hmm, ich war die ganze Zeit online, bin auch nicht rausgeflogen und habe mich auch nicht neu anmelden müssen. Vielleicht spinnt das Ding ein wenig. Aber egal, jetzt habe ich wenigstens eine Erklärung. smile

smile

Zitat:

Original von Duedi
@klarsoweit:
Auf den Pythagoras hätte ich selbst kommen können *klatschgegendiestirn*. Und danke für den Tipp mit der Substitution, aber wie kommt man da drauf?^^

30-jährige Erfahrung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2008, 15:29

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Mann, ersehne ich das Mathestudium, damit ich die ganzen mathematischen Fragmente, die ich in meinem Hirn habe, ordentlich zusammenfügen kann. Big Laugh

Big Laugh

Danke euch beiden nochmal.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »