Tetraeder!

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JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder!
Soderle, nächste Aufgabe wo ich Probleme hab!

Beweisen Sie, dass zwei gegenüberliegende Kanten beim Tetraeder zu einander orthogonal sind.

Gegeben ist ein Tetraeder ABCD mit dem vektor c = AD, b = AC und a=AB.



Lösungsversuch:
Wie können Kanten orthogonal sein? Es sind doch nur Punkte?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Kanten sind die Verbindungsstrecken zwischen den Eckpunkten. Was du meinst, sind Ecken Augenzwinkern
 
 
JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/images/tetraeder.GIF

So hab jetzt mal hier einen Tetraeder eingestellt. Die Strecke, die mit dem Vektor a beschrieben wird ist gegenüberliegend zu c?
Vorraussetzung ist auch noch das alle Seitenlängen gleichlang sind, also ist es ein gleichseitiges Dreieck. In jenem Dreieck sind die planaren Innenwinkel 60°.

Wo soll hier was zu wem ortogonal sein? Ich komm einfach nicht drauf.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast 4 Seiten. Jetzt wählst du die Seite a (also die vom Vektor beschrieben wird). Diese Seite hat mit 2 weiteren Seiten eine gemeinsame Ecke. Welche Seite ist dann wohl mit der gegenüberliegenden Seite gemeint?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Regulär sollte es schon sein...
Ich finde es besser, wenn man hier gleich klar von einem regulären Tetraeder spricht. Für ein allgemeines Tetraeder (=Vierflächner) gilt die Aussage nämlich nicht. Augenzwinkern
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo: in einem regulären Tetraeder gibt es keine wirklichen gegenüberliegenden Seiten Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich irgendwie Mist geschrieben. Ich meinte eigentlich Kanten und es gibt derer 6. Und jede Kante hat Ecken mit 4 weiteren gemeinsam.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Julius

Ich würde den Beweis über die Einbettung im Würfel führen:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif

Wenn du es allerdings zwingend als "Vektorenbeweis" angehen sollst, dann vergiss diese Empfehlung. Augenzwinkern
JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »

Vektroiell würde das dann so aussehen

orthogonal zu

Demnach ist


So jetzt isses doch so, dass man einen Tetraeder mit nur 2 Vektoren darstellen kann?

Wenn ich das jetzt ausrechne komm ich auf



Kann ich jetzt einfach sagen, dass da alle Vektoren gleichlang sind gilt das das oben beschriebene skalareverhältnis gleich null ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du vermischt hier Behauptung und Vorraussetzung.

Die Behauptung ist

Dass diese Gleichung stimmt, ist recht schnell einzusehen, wenn man ausnutzt sowie, dass die dreiecke gleichseitig sind (also kennst du den winkel, du hast ihn sogar schon genannt).

@ArthurDent: Der Beweis gefällt mir auch Freude Nur es scheint wirklich so, als soll das mit Vektorrechnung gemacht werden.
JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und was fehlt jetzt noch um die Behauptung zu beweisen,

habe gedacht, man kann nur die Beträge bei Beweise benutzten bei denen die Vektoren quadriert werden, da ja gilt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JuliusSpringer



das stimmt nicht. es ist

aber wie ist denn das skalarprodukt geometrisch definiert?
JuliusSpringer Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn zwei Vektoren orthogonal zu einander sind, dann ist iher Skalarprodukt null, das ist zwar nicht geometrich, aber smile

geometrische antwort wäre vielleicht, das die länge eines vektors für den winkel nicht entscheident ist, mir fällt grade nix ein was für ich für den beweis bräuchte
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