Extremwertart ermitteln |
| 11.03.2008, 19:03 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertart ermitteln Zu untersuchen: in (0,0) Min, Max oder Sattelpunkt. Die Hessematrix liefert hier keine Rückschlüsse über den Punkt, da die Det = 0 ist. Wie muss man dann vorgehen? Schau ich mir die ersten beiden partiellen Ableitungen an und setz dort (0,0) ein und schau, was passiert? Sie sind dort bei null. Wäre ja schonmal gut, aber ist das auch mathematisch korrekt die Vorgehensweise? |
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| 11.03.2008, 19:23 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist Weise einfach nach, dass es in jeder Umgebung des Nullpunkts sowohl positive als auch negative Funktionswerte gibt - einfach durch Angabe entsprechender Punkte! Damit kann bei kein lokales Extremum vorliegen. |
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| 11.03.2008, 19:28 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ist das nicht etwas zu oberflächlich? Gibt es denn nicht die Möglichkeit, über den Differenzenquotienten die Ableitung bei (0,0) zu bestimmen, die ja null sein dürfte. Dann den Differezenquotienten der ersten Ableitung bilden um die zweite Ableitung bei (0,0) zu bestimmen, was womöglich auch null ist und dann bei der dritten kommt 2 oder so raus und dann folgt ja der Sattelpunkt. Ist der Gedanke richtig? |
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| 11.03.2008, 19:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was, bitte, ist daran oberflächlich??? 
Wie ist denn ein lokales Extremum definiert? |
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| 11.03.2008, 19:33 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe es selbst schon gemerkt. Meine Frage zielte eigentlich dahin, ob es nicht eine "harte" Möglichkeit gibt, das zu zeigen. Also mit einer Definition der Extrema etc. Deine Methode ist ja größtenteils logisch hergeleitet und funktioniert, aber ich wollte halt wissen, ob es nicht nach bestimmten Regeln zu lösen ist wie sonst eben mit der Hessematrix. |
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| 11.03.2008, 19:39 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, klar. Man kann z.B. im eindimensionalen die Funktion stur tausendmal ableiten, bevor man laut Kochrezept feststellt, dass in x=0 ein lokales Minimum vorliegt. Wahrscheinlich gibt es im mehrdimensionalen ähnliche Kochrezepte, nur noch deutlich aufwändiger formuliert... Ich persönlich ziehe da solche Kniffe wie oben vor, aber das ist wohl Geschmackssache.
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| 11.03.2008, 19:43 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja gut, du redest an mir vorbei. Trotzdem danke für die Einführung in die Welt Tricks und Kniffe. |
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| 11.03.2008, 19:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin an Lösen von Aufgaben interessiert, nicht an Lösungsdogmen. |
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| 11.03.2008, 19:47 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und ich bin besonders daran interessiert, verschiedene Lösungswege kennenzulernen und auf Nachfrage nicht totgeredet zu werden. |
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| 11.03.2008, 19:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich rede dich nicht tot - ich kenne diese weiterführenden mehrdimensionalen Kriterien nicht, wahrscheinlich führt das auf schreckliche Tensoren höherer Ordnung. Gerade deswegen will ich dir was einfacheres nachdrücklich empfehlen. Aber du hattest nichts besseres zu tun, als das gleich als "oberflächlich" wegzuwischen - na mach, was du willst, viel Freude noch. 
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| 11.03.2008, 21:16 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertart ermitteln
Naja korrekt schon, aber was bringt dir das? Früher oder später wirst du einsehen müssen, dass man sich bei manchen Aufgaben gekonnt aus der Affäre ziehen muss - z.B. so wie es dir Arthur vorgeschlagen hat. Im Übrigen ist sein Vorschlag durchaus elegant - vorallem aber effektiv hinsichtlich der Frage. Aber Wahrscheinlich fehlt dir der mathematische Weitblick um das richtig beurteilen zu können. Für die Zukunft empfehle ich dir erstmal über Tipps nachzudenken, bevor du loswetterst - nur so lernt man aus Erfahrung anderer.
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| 11.03.2008, 21:26 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe nicht losgewettert, ich war lediglich der Meinung, dass ich gerne etwas Handfestes haben wollte. Ich fand das halt schwammig, so wie wenn ich Maxima mittels Monotoniekriterium bestimme, statt knallhart abzuleiten und zu interpretieren. Und statt dann gleich arrogant meine Frage lächerlich zu machen, hätte er gleich das sagen können, was er am Schluss gesagt hat. Aber es ist halt zu verlockend. Und was an dem Wort "oberflächlich" mit dem Wort "etwas" vorangestellt angreifend sein soll, wird mir nicht klar. Schade, dass viele statt zu helfen gerne ihre eigene Person in den Vordergrund stellen wollen. |
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| 11.03.2008, 21:28 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wo doch beides zum selben Resultat führt.
Schade, dass viele statt sich helfen zu lassen gerne ihre eigene Person in den Vordergrund stellen wollen. |
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| 11.03.2008, 21:35 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nur eine Reaktion, gehört eigentlich nicht ins Forum, ich weiß. Aber man hat das Verlangen, sich zu verteidigen. Und wenn du dir das nochmal genau durchliest, wirst du erkennen, dass ich seine Methode anerkannt, verstanden und durchaus logisch finde und trotzdem wollte ich noch einen anderen Weg. Wenn das nicht "sich helfen lassen" ist, was dann? Auf der ewigen Suche nach Wissen und neuen Erkenntnissen... |
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| 11.03.2008, 22:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaub, du verwechselst da etwas bezüglich dieser Definition. Der Weg von Arthur ist der, zu zeigen, dass dieser Punkte gerade nicht die Definition eines Extremums erfüllt. Diese ist nämlich, dass es eine Umgebung gibt, in der alle Funktionswerte kleinergleich (Minimum) bzw. alle größergleich (Maximum) sind. Den Weg, den du möchtest, nämlich über die Ableitung zu gehen, ist keinesfalls der über die Definition des Extremums. Dass die Ableitung an einem Extrempunkt gerade Null ist, ist eine Folgerung aus der Definition. |
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| 11.03.2008, 23:04 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe über den Gradienten (0,0) als kritischen Punkt ermittelt. Wenn dort weder Max noch Min ist, liegt dann automatisch ein Sattelpunkt vor? Ich habe das mit der Definition vllt etwas durcheinandergewürfelt. Ich wollte das Vorgehen bei einer Variable auf das mit zwei Variablen übernehmen. Sprich mir die Ableitungen anschauen und dann schlussfolgern. Ich dachte, es geht auch bei solchen Problemen mit x,y so einfach. Und zum anderen Verfahren hier: Wie klein muss ich die Umgebung werden lassen? Reicht es nicht im Grunde, wenn ich weiß, dass (0,0) der einzige kritische Punkt in D ist und somit das einzige lokale Extrema nur dort liegen kann und dann zwei Punkte unterschiedlichen Vorzeichens finde? Gäbe es ein Max, dann müsste es für einen Vorzeichenwechsel doch auch ein Min geben (und andersrum). Oder muss ich die Umgebung beliebig klein werden lassen und von überall betrachten? |
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| 11.03.2008, 23:28 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, reicht nicht.
So ist es (s.o.)
Meinst du damit Richtungen? Nein, das ist nicht nötig - es geht nur um beliebig kleine Umgebungen. Im übrigen solltest du nicht nur an Geraden denken, wenn du dich dem Nullpunkt annäherst - es gibt auch andere Kurven.
Im übrigen: Ich bin durchaus interessiert an Kriterien, die nur auf Ableitungen basieren. Also wenn du was findest, kannst du es hier gern vorstellen, am besten gleich auf deine Aufgabe angewandt. Es ist nur so, dass allein der Übergang von einer zu zwei Variablen beim "normalen" hinreichenden Kriterium (zweite Ableitung vs. positive/negative Definitheit der Hessematrix) für höhere Ableitungen schlimmes befürchten lässt - mein Hinweis auf Tensoren oben war sicher so ganz falsch nicht - also die 8 dritten Ableitungen in einem Tensor 3.Stufe (Kubus) angeordnet usw. |
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| 12.03.2008, 08:32 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, dass du noch antwortest
Wenn ich verschiedene Nullfolgen einsetze, komme ich ja immer auf den Grenzwert 0, richtig? Ist es ein Unterschied, ob ich auf 0 oder -0 komme? Es ist zwar dieselbe Zahl, aber einmal von unten genähert und einmal von oben. Ist es das, worauf ich kommen muss? |
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| 12.03.2008, 09:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das soll wohl die Umschreibung dafür sein, dass bei der einen Annäherung an Null nur positive, und bei der anderen Annäherung nur negative Funktionswerte auftreten. In dem Fall ist es richtig. 
Dass der Grenzwert in beiden Fällen Null ist, sollte wegen der Stetigkeit der Funktion ohnehin kein Thema mehr sein. |
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| 12.03.2008, 14:11 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist meine Umschreibung dafür. Wie soll ich denn zeigen, dass bei Annäherung einmal nur positive und einmal nur negative rauskommen, wenn nicht mit Grenzwertbildung? Ich dachte, ich setz einmal eine Nullfolge ein, die von unten gegen null geht und einmal eine, die von oben gegen null geht. Kann ich dann argumentativ sagen, dass es einmal nur negative Werte und einmal nur positive Werte gibt, die sich der null nähern? |
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| 12.03.2008, 19:42 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, du musst Nullfolgen (im ) von Argumenten angeben, die ausschließlich positive (bzw. die andere ausschließlich negative) Funktionswerte haben. Auf diese Werte kommt es doch aber an, nicht auf den Grenzwert der Funktionswerte - der ist sowieso Null. Das ist doch ein Unterschied in der inhaltlichen Bedeutung: Die Folge der Funktionswerte selbst ist wichtig, nicht ihr (sowieso klarer) Grenzwert! Über die alleinige Betrachtung des Grenzwerts kannst du doch nichts über die Folgenglieder aussagen - ich verstehe dich nicht, warum du ausschließlich auf den Grenzwert pochst. 
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| 12.03.2008, 19:51 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kannst du bitte ein Beispiel angeben, wie ich zB. bei 1/n (oder einer anderen) sage, dass die Funktionswerte immer positiv sind (oder auch nicht). Ich komm mit dem Nachweis der Positivität der Folgeglieder nicht klar. Ich muss sie ja in die Funktion einsetzen. Sage ich dann, hier kommt stets etwas positives raus und dort stets etwas negatives, indem ich es an ein paar Werten zeige oder muss ich es allgemein zeigen. Nur daran scheiterts noch bei mir. |
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| 12.03.2008, 19:56 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Anscheinend reden wir aneinander vorbei: Die Folge der Argumente liegt in , was soll da positiv bedeuten? Ich rede die ganze Zeit von positiven bzw. negativen Funktionswerten !!! Also in Symbolen: Eine Folge mit und für alle . Und eine zweite Folge mit ebenfalls und dann aber für alle . Wovon redest du? |
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| 12.03.2008, 22:06 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir hatten das immer so gemacht, dass wir Nullfolgen als x und y eingesetzt haben um zu schauen, wie sich die Funktion bei (0,0) verhält. So hast du das ja auch gemacht wenn ich das richtig deute. Sprich ich such mir Nullfolgen. Diese Nullfolgen setze ich für x und y ein und schaue, welche Werte die Funktion annimmt. Das meinte ich vorhin. Mein Problem besteht darin zu zeigen, dass für ALLE n die Werte kleiner bzw. größer 0 sind, wenn ich die Nullfolgen als Argumente nehme. |
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| 12.03.2008, 22:17 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht wählst du einfach nur ungünstige Folgen, also wo man die Positivität/Negativität schlecht sieht. Entlang der Linien sowie gibt es da kein Problem. |
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| 12.03.2008, 22:27 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin gerade verwirrt, ich dachte ich müsste Nullfolgen einsetzen, also direkt sowas wie x = 1/n oder so. So hatten wir das Mal gemacht. Und dann zB f(1/n,1/n). Kannst du mir bitte zeigen, wo bei ersten die Folgen versteckt sind, die gegen (0,0) konvergieren? Ich glaube dann wars auch die letzte Frage und ich bedanke mich schon mal ganz lieb 
Ich vertrete jetzt übrigens auch die Meinung, dass es um das Ergebnis geht und nicht um den Weg. Wird mir was angekreidet, diskutier ich den Tutor einfach in Grund und Boden
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| 12.03.2008, 22:28 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Muss denn wirklich alles bis zum letzten Bissen vorgekaut serviert werden? Also gut: sowie |
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| 12.03.2008, 22:31 | shakerZ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
*BOING* Alles klar. Danke
Ich hatte es aber schon durch das Hervorheben von Entlang kapiert. |
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