Modellierung mit Kaffee

11.03.2008, 21:44

Assal

Modellierung mit Kaffee

Hallo!

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:

Eine Tasse Kaffee mit einer Temperatur von 60°C wird bei einer Raumtemperatur von 20°C auf einen Tisch gestellt. Es sei T_n die Temperatur des Kaffees nach n Minuten. Es ist bekannt, dass die Differenz zwischen der Kaffeetemperatur in der Minute n+1 und der Minute n proportional mit der Proportionalitätskonstante alpha zur Differenz zwischen der Temperatur des Kaffees zur Zeit n und der Raumtemperatur ist.

a) Stellen Sie ein Modell auf, das die zeitliche Entwicklung der Temperatur des Kaffees beschreibt.

unglücklich

DANKE,
Assal

11.03.2008, 22:10

Mathespezialschüler

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Schreib doch einfach einmal durch mathematische Terme auf, was die einzelnen Beschreibungen bedeuten:

Zitat:

Original von Assal
die Differenz zwischen der Kaffeetemperatur in der Minute n+1 und der Minute n
[...]
(proportional mit der Proportionalitätskonstante alpha zur)
[...]
Differenz zwischen der Temperatur des Kaffees zur Zeit n und der Raumtemperatur (ist.)

Wie kannst du das nun mathematisch ausdrücken?

11.03.2008, 22:40

Assal

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ok -ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} (K_{n+1}-K_n) /alpha = K_n-20°C \end{eqnarray*}$

wäre das die Gleichung? unglücklich

12.03.2008, 00:01

Mathespezialschüler

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Wenn du, wie in der Aufgabenstellung bereits angegeben, für die Temperatur zur Minute $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Variable $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ benutzt und den Index noch korrekt schreibst, dann lautet die Gleichung

$\begin{eqnarray*} T_{n+1}-T_n=\alpha\cdot (T_n-20) \end{eqnarray*}$ ,

ja. Wenn du noch $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ herausfinden sollst, dann kannst du die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ umstellen und versuchen, aus der Rekursion eine explizite Vorschrift zu finden.

17.03.2008, 22:11

Assal

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ok - stimmt! Danke!

Also wäre das Modell:

$\begin{eqnarray*} T_{n+1} = \alpha T_n-20\alpha +T_n \end{eqnarray*}$

b) Sei $\begin{eqnarray*} \alpha=-1/2 \end{eqnarray*}$ . Nach wie vielen Minuten erreicht der Kaffee eine Temperatur von 25°C?

nach einsetzen der Daten erhalte ich für T_{n+1} = 22,5°C

stimmts?

c) Untersuchen Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendlich} T_n \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha=-1/2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

17.03.2008, 22:30

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Assal
nach einsetzen der Daten erhalte ich für T_n+1 = 22,5°C

Das hat nichts mit der Frage zu tun. Du sollst nicht 25 Grad Celsius dort einsetzen, sondern rausfinden, für welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei der Anfangstemperatur $\begin{eqnarray*} T_0=60 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} T_{n-1}>25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_n\leq 25 \end{eqnarray*}$ .

17.03.2008, 22:34

Assal

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echt???

Für diese Werte hab ich aber kein Modell - also neu erfinden????

18.03.2008, 00:19

Mathespezialschüler

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Natürlich hast du dafür ein Modell. Es ist doch genau das, was du schon gefunden hast.

18.03.2008, 16:19

Assal

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also das Modell von a)?
aber dort ist kein $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ .....??!!

18.03.2008, 19:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Assal
Eine Tasse Kaffee mit einer Temperatur von 60°C [...]

01.04.2008, 16:27

Silencer

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Es steht da zwar kein $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ explizit in der Formel, allerdings kannst du dir mithilfe der von dir aufgeschriebenen Formel fuer alle nichtnegativen Zahlen [1] $\begin{eqnarray*} T_{n+1} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} T_{n} \end{eqnarray*}$ , sprich, wenn du irgendeinen Wert hast, kannst du dir den naechsten ausrechnen.
Wenn du also n = 0 setzt, hast du dein $\begin{eqnarray*} T_0 \end{eqnarray*}$ (und auch ein $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ ).

[1]: Ok, man koennte einfach den Index verschieben und haette negative Zahlen, oder aber man koennte nach $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ umformen und dann "rueckwaerts" rechnen, aber ich glaub, das will man hier nicht... Augenzwinkern

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